Question

17．空間站是一種在近地軌道長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行，可供多名航天員巡訪、長(zhǎng)期工作和生活的載人航天器．如圖所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道 I上圍繞地球運(yùn)行，一宇宙飛船與空間站對(duì)接檢修后再與空間站分離，分離時(shí)宇宙飛船依靠自身動(dòng)力裝置在很短的距離內(nèi)加速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運(yùn)行．已知橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)到地球球心的距離為3.5R，地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G，求
（1）空間站圍繞地球運(yùn)行的周期．
（2）分離后飛船在橢圓軌道上至少運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間才有機(jī)會(huì)和空間站進(jìn)行第二次對(duì)接？

Answer 1

分析 （1）設(shè)空間站在軌道 I上運(yùn)行周期為T₁，根據(jù)萬有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式求解；
（2）求出航天飛船所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，根據(jù)開普勒第三定律列式求出航天飛船在軌道 II上運(yùn)動(dòng)的周期，要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，從而求出時(shí)間．

解答 解：（1）設(shè)空間站在軌道 I上運(yùn)行周期為T₁，萬有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則：
$G\frac{{M}_{空}{M}_{\;}}{{R}^{2}}={M}_{空}{（\frac{2π}{{T}_{1}}）}^{2}R$
解得：${T}_{1}=2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
（2）航天飛船所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸：$L=\frac{3.5R+R}{2}=\frac{9}{4}R$
設(shè)航天飛船在軌道 II上運(yùn)動(dòng)的周期為T₂，由開普勒第三定律：$（\frac{{T}_{2}}{{T}_{1}}）^{2}=（\frac{L}{R}）^{3}$
解得：${T}_{2}=\frac{27}{8}{T}_{1}$
要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，故所需時(shí)間：t=27T₁
解得：$t=54π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$
答：（1）空間站圍繞地球運(yùn)行的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$．
（2）分離后飛船在橢圓軌道上至少運(yùn)動(dòng)$54π\(zhòng)sqrt{\frac{{R}^{3}}{GM}}$時(shí)間才有機(jī)會(huì)和空間站進(jìn)行第二次對(duì)接．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了萬有引力提供向心力公式以及開普勒第三定律的直接應(yīng)用，知道要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，難度適中．