Question

3．發(fā)射地球同步衛(wèi)星時，先將衛(wèi)星發(fā)射到距地面高度為h₁的圓軌道上，在衛(wèi)星經過A點時點火實施變軌進入橢圓軌道，最后在橢圓軌道的遠地點B點再次點火將衛(wèi)星送入同步軌道，如圖所示．已知同步衛(wèi)星的運動周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g，忽略地球自轉的影響．求：
（1）衛(wèi)星在近地點A的加速度大��；
（2）遠地點B距地面的高度．
（3）能否求出衛(wèi)星從A點到B點所需的時間．若能，請寫出求解過程或表達式（不必求解最終的結果）．

Answer 1

分析 衛(wèi)星近地點A的加速度由萬有引力提供，求出萬有引力加速度就可以，在地球表面，重力和萬有引力相等，由此可以求出衛(wèi)星在近地點的加速度a，
在地球同步衛(wèi)星軌道，已知衛(wèi)星的周期求出衛(wèi)星的軌道高度．
根據開普勒第三定律得出從A點到B點所需的時間．

解答 解：（1）設地球質量為M，衛(wèi)星質量為m，萬有引力常數為G，衛(wèi)星在A點的加速度為a，由牛頓第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=ma，r=R+h₁，
物體在地球赤道表面上受到的萬有引力等于重力，
則：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$；
解以上兩式得：a=$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$．
（2）設遠地點B距地面高度為h₂，衛(wèi)星受到的萬有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r，r=（R+h₂） 
解得：h₂=$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．
（3）根據開普勒第三定律得出
在橢圓軌道上：$\frac{{（\frac{2R{+h}_{1}{+h}_{2}}{2}）}^{3}}{{T′}^{2}}$=k
在同步衛(wèi)星軌道上：$\frac{{（R{+h}_{2}）}^{3}}{{T}^{2}}$=k
可以求得在橢圓軌道上衛(wèi)星的周期，所以能求得衛(wèi)星從A點到B點所需的時間．
答：（1）衛(wèi)星在近地點A的加速度大小是$\frac{{gR}^{2}}{{（R{+h}_{1}）}^{2}}$；
（2）遠地點B距地面的高度是$\root{3}{\frac{{{gR}^{2}T}^{2}}{{4π}^{2}}}$-R．
（3）能求出衛(wèi)星從A點到B點所需的時．

點評 根據衛(wèi)星運動時萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力分別列方程求解．會寫向心力的不同表達式．