Question

9．某航空科研小組相互協(xié)作完成了下面的實驗：
A．太空中的小組成員駕駛飛船在距X星球一定高度的P點時，正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經(jīng)過時間t₁ 后收到反射回來的信號；
B．太空中小組成員在P點觀察X星球時發(fā)現(xiàn)視角為60°；
C．小組成員駕駛飛船在X星球表面著陸后，把一個彈射器固定在星球表面上，以一定的速度豎直向上彈射一個小球，測得小球從彈射到落回的時間為t₂；
D．地球上的小組成員用同樣的彈射器在地球表面上，以相同的速度豎直向上彈射一個小球，測得小球在空中運動的時間為t₃；
E．地球上的小組成員將同樣的彈射器平放在水平桌面上，以相同的速度水平彈射一個小球，測得小球的水平射程為x，桌面離地高度為h；
F．他們查資料得知萬有引力常量為G，光速為c．
根據(jù)上述實驗數(shù)據(jù)，可知算出（用上述的物理量表示）
（1）X星球表面距P點的距離為H=$\frac{1}{2}c{t}_{1}$．
（2）X星球的半徑為R=$\frac{1}{2}c{t}_{1}$．
（3）地球表面的重力加速度為g=$\frac{2{x}^{2}}{h{t}_{3}^{2}}$．
（4）X星球表面的重力加速度為g₁=$\frac{2{x}^{2}}{h{t}_{2}{t}_{3}}$．
（5）X星球的密度為ρ=$\frac{3{x}^{2}}{πGhc{t}_{1}{t}_{2}{t}_{3}}$．

Answer 1

分析 （1）激光脈沖的速度是光速，結(jié)合x=vt即可求出；
（2）由幾何關(guān)系即可求出星球的半徑為R；
（3）根據(jù)平拋運動的特點即可求出初速度與重力加速度的關(guān)系，然后根據(jù)豎直上拋運動的特點即可求出地面的重力加速度；
（4）根據(jù)豎直上拋運動的特點即可求出X星地面的重力加速度；
（5）根據(jù)萬有引力定律，X星表面的重力加速度由萬有引力提供，由此即可求出．

解答 解：（1）飛船停留在距X星球一定高度的P點時正對著X星球發(fā)射一個激光脈沖，經(jīng)過時間t₁后收到返回來的信號，則P點到星球表面的最短距離為：$\frac{1}{2}c{t}_{1}$．
（2）根據(jù)幾何圖形，由直角三角形的知識可得：$\frac{R}{R+\frac{1}{2}c{t}_{1}}=sin\frac{θ}{2}$
解得：R=$\frac{c{t}_{1}sin\frac{θ}{2}}{2（1-sin\frac{θ}{2}）}$=$\frac{1}{2}c{t}_{1}$
（3）以相同的速度水平彈射一個小球，測得小球的水平射程為x，桌面離地高度為h時，設(shè)速度為v，則：
$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$
x=vt
聯(lián)立得：$v=x\sqrt{\frac{g}{2h}}$
相同的速度豎直向上彈射一個小球，測得小球在空中運動的時間為t₃，則：
${t}_{3}=\frac{2v}{g}$
聯(lián)立得：g=$\frac{2{x}^{2}}{h{t}_{3}^{2}}$，v=$\frac{{x}^{2}}{h{t}_{3}}$
（4）在X星上相同的速度豎直向上彈射一個小球，測得小球在空中運動的時間為t₂，則：
${t}_{2}=\frac{2v}{{g}_{1}}$
所以：${g}_{1}=\frac{2v}{{t}_{2}}=\frac{2{x}^{2}}{h{t}_{2}{t}_{3}}$
（5）在星球表面重力與萬有引力相等，故有：
$F={m}_{0}{g}_{1}=G\frac{{m}_{0}M}{{R}^{2}}$
所以可得星球質(zhì)量為：M=$\frac{{g}_{1}{R}^{2}}{G}$
星球的體積為：V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$
所以星球密度為：$ρ=\frac{M}{V}$=$\frac{\frac{{g}_{1}{R}^{2}}{G}}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}=\frac{3{g}_{1}}{4πGR}$=$\frac{3{x}^{2}}{πGhc{t}_{1}{t}_{2}{t}_{3}}$
故答案為：（1）$\frac{1}{2}c{t}_{1}$；（2）$\frac{1}{2}c{t}_{1}$；（3）$\frac{2{x}^{2}}{h{t}_{3}^{2}}$；（4）$\frac{2{x}^{2}}{h{t}_{2}{t}_{3}}$；（5）$\frac{3{x}^{2}}{πGhc{t}_{1}{t}_{2}{t}_{3}}$

點評 重力加速度g是天體運動研究和天體表面宏觀物體運動研究聯(lián)系的物理量．本題要求學(xué)生掌握兩種等式：一是物體所受重力等于其吸引力；二是物體做勻速圓周運動其向心力由萬有引力提供．