Question

6．如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口沿水平方向，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上段放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：
（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁；
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p；
（3）已知地面欲睡面相距1.5R，若使該投餌管繞AB管的中軸線OO′．在90°角的范圍內來回緩慢轉動，每次彈射時只放置一粒魚餌，魚餌的質量在$\frac{2}{3}m$到m之間變化，且均能落到水面．持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結果，由功能關系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能．
（3）分別求出質量是m和$\frac{2}{3}$的魚餌離開C時的速度，再利用平拋運動規(guī)律求出落到水平面到轉軸之間的距離，轉軸轉過90°時，魚餌在水平面形成兩個$\frac{1}{4}$圓面積，中間夾的環(huán)形面積即為所求．

解答 解：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，則 $mg=m\frac{v_1^2}{R}$ ①
由①式解得    ${v_1}=\sqrt{gR}$ ②
（2）彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由機械能守恒定律有  ${E_P}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}mv_1^2$  ③
由②③式得   E_P=3mgR  ④
（3）不考慮因緩慢轉動裝置對魚餌速度大小的影響，質量為m的魚餌離開管口C后做平拋運動，設經(jīng)過t時間落到水面上，離OO′的水平距離為x₁，由平拋運動規(guī)律有  $4.5R=\frac{1}{2}g{t^2}$  ⑤
    x₁=v₁t+R   ⑥
由⑤⑥式解得  x₁=4R  ⑦
當魚餌的質量為$\frac{2}{3}m$時，設其到達管口C時速度大小為v₂，由機械能守恒定律有  ${E_P}=\frac{2}{3}mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}（\frac{2}{3}m）v_2^2$  ⑧
由④⑧式解得    ${v_2}=2\sqrt{gR}$  ⑨
質量為$\frac{2}{3}m$的魚餌落到水面上時，設離OO′的水平距離為x₂，則 x₂=v₂t+R  （10）
由⑤⑨（10）式解得     x₂=7R
魚餌能夠落到水平的最大面積S，則　$S=\frac{1}{4}（πx_2^2-πx_1^2）=\frac{33}{4}π{R^2}（或8.25π{R^2}）$  （11）
答：
（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度大小v₁是$\sqrt{gR}$．
（2）彈簧壓縮到0.5R時的彈性勢能E_p是3mgR．
（3）持續(xù)投放足夠長時間后，魚餌能夠落到水面的最大面積S是8.25πR²．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程和平拋運動規(guī)律，轉軸轉過90°魚餌在水平面上形成圓周是解決問題的關鍵．