Question

如圖所示，在xoy坐標(biāo)系內(nèi)有垂直xoy所在平面的范圍足夠大的勻速磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．某時刻有兩個粒子M、N分別從坐標(biāo)原點(diǎn)O及x軸上的P點(diǎn)開始運(yùn)動．M粒子帶電量為q，質(zhì)量為m，初速度方向沿y軸正方向，速度大小為V_M．運(yùn)動軌跡如圖所示．N粒子帶電量為q，質(zhì)量為m/2，初速度方向是在xoy平面內(nèi)的所有可能的方向，P點(diǎn)到O點(diǎn)距離是M粒子軌道半徑的3倍，兩粒子所受的重力不計．
（1）M粒子帶的是正電還是負(fù)電？運(yùn)動的軌道半徑R_M是多少？
（2）若兩個粒子相遇的位置在（R_M，R_M）的A點(diǎn)，則N粒子速度V_N是多大？
（3）N粒子的速度V_N有一臨界值V，當(dāng)V_N＜V時，兩個粒子不可能相遇，求臨界值v的大�。�

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，根據(jù)左手定則判斷其電性，由牛頓第二定律列式求其軌道半徑；
（2）由周期公式T=

2πm

qB

得到T_M=2T_N，根據(jù)周期性得到：M粒子由O點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的時間為 tM=(n+

1

4

)TM，N粒子由P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的時間為 tN=tM=(n+

1

4

)TM=(2n+

1

2

)TN，由于兩個粒子相遇的位置在（R_M，R_M）的A點(diǎn)，AN為粒子N圓周運(yùn)動的直徑，由幾何知識求出其軌道半徑，即可求得N粒子速度V_N．
（3）畫出軌跡，假設(shè)兩粒子相遇在Q點(diǎn)，由幾何關(guān)系有PQ=2R_Nsinθ，如圖，由數(shù)學(xué)知識求出兩個圓周運(yùn)動半徑關(guān)系，得到速度關(guān)系，從而求出臨界值v的大�。�

解答：解：（1）由左手定則知，M粒子帶負(fù)電，
由牛頓第二定律得
    qv_MB=m

v 2 M

RM

 
得 RM=

mVM

qB

（2）由T=

2πm

qB

知，T_M=2T_N
M粒子由O點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的時間為 tM=(n+

1

4

)TM，N粒子由P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)的時間為 tN=tM=(n+

1

4

)TM=(2n+

1

2

)TN
可知，AN長度為粒子N做圓周運(yùn)動的直徑，由幾何關(guān)系有 (3RM-R M)2+RM2=(2RN)2
解得：RN=

5

RM/2
又 RN=

0.5mVN

qB

 
 可得：VN=

5

VM
（3）如圖所示，假設(shè)兩粒子相遇在Q點(diǎn)，由幾何關(guān)系有PQ=2R_Nsinθ
由正弦定理有 

pQ

sinα

=

RM

sinβ

 
即 

2RNsinθ

sin(π-θ)

=

RM

sinβ

  得 2R_N=

RM

sinβ

  V_N=

VM

sinβ

 
又由于  sinβ≤

RM

3RM-RM

=0.5
得V_N≥2V_M，即：v=2V_M
答：
（1）M粒子帶負(fù)電，運(yùn)動的軌道半徑R_M是

mVM

qB

．
（2）若兩個粒子相遇的位置在（R_M，R_M）的A點(diǎn)，則N粒子速度V_N是

5

VM．
（3）N粒子的速度V_N有一臨界值V，當(dāng)V_N＜V時，兩個粒子不可能相遇，臨界值v的大小為2V_M．

點(diǎn)評：本題是帶電粒子在磁場中圓周運(yùn)動的問題，關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析兩個粒子之間運(yùn)動周期和軌跡半徑的關(guān)系，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的能力．