Question

11．如圖所示，一束截面為圓形半徑為R的平行單色光，垂直射向一玻璃半球的平面，經(jīng)折射后在屏幕S上形成一個(gè)圓形亮區(qū)，已知玻璃半球的半徑為R，屏幕S到球心的距離為d=2$\sqrt{3}$ R，不考慮光的干涉和衍射，玻璃對(duì)該光的折射率為n=2，求
（1）屏幕逐漸靠近玻璃半球過(guò)程，屏幕上圓形亮區(qū)半徑如何變？
（2）開(kāi)始時(shí)屏幕上被照亮區(qū)域的半徑？

Answer 1

分析 作出光線在圓面上發(fā)生全反射的光路圖，結(jié)合折射定律和幾何關(guān)系求出屏幕上被照亮區(qū)域的半徑．

解答 解：設(shè)光恰好發(fā)生全反射時(shí)的臨界光線照射到幕S上的E點(diǎn)，E點(diǎn)到亮區(qū)中心O′點(diǎn)的距離r就是所求最大半徑，如圖所示．
設(shè)臨界角為θ，有sinθ=$\frac{1}{n}$


又OF=$\frac{R}{cosθ}$，
O′E=（d-OF）cotθ
解得：r=O′E=$d\sqrt{{n}^{2}-1}-nR$=4R．
由上式和光路圖可知，當(dāng)屏幕到圓心的距離減小時(shí)，光斑的半徑將先減��；直到減小為一個(gè)點(diǎn)，然后又會(huì)逐漸增大．
答：（1）屏幕逐漸靠近玻璃半球過(guò)程，屏幕上圓形亮區(qū)半徑先減少后增大；
（2）開(kāi)始時(shí)屏幕上被照亮區(qū)域的半徑為4R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了光的折射定律和全反射知識(shí)，對(duì)數(shù)學(xué)幾何能力的要求較高，需加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．