Question

1．如圖所示，質(zhì)量為2m的木板A靜止在光滑水平面上，其左端與固定臺(tái)階相距S，長(zhǎng)木板的右端固定一半徑為R光滑的四分之一圓弧，圓弧的下端與木板水平相切但不相連．質(zhì)量為m的滑塊B（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v₀=$\sqrt{2gR}$從圓弧的頂端沿圓弧下滑，當(dāng)B到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，B從A右端的上表面水平滑入（滑入后將右側(cè)四分之一圓弧撤去）．A與臺(tái)階碰撞無(wú)機(jī)械能損失，不計(jì)空氣阻力，A、B之間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，A足夠長(zhǎng)，B不會(huì)從A表面滑出；重力加速度為g．試分析下列問(wèn)題：

（1）滑塊B到圓弧底端時(shí)的速度大小v₁；
（2）A與臺(tái)階只發(fā)生一次碰撞，求S滿(mǎn)足的條件；
（3）S在滿(mǎn)足（2）條件下，討論A與臺(tái)階碰撞前瞬間B的速度．

Answer 1

分析 （1）滑塊下滑時(shí)只有重力做功，根據(jù)機(jī)械能守恒求得滑塊到達(dá)底端時(shí)的速度；
（2）木板與臺(tái)階碰撞后，滑塊與木板組成的系統(tǒng)總動(dòng)量水平向右，則只發(fā)生一次碰撞，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能定理分析求解；
（3）A與臺(tái)階只發(fā)生一次碰撞，根據(jù)動(dòng)能定理和動(dòng)量守恒，分A與滑塊是共速之前碰撞和A與滑塊共速之后碰撞分析求解．

解答 解：（1）滑塊B從釋放到最低點(diǎn)，機(jī)械能守恒，取水平面為零勢(shì)面，由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+mgR=\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$     ①
由①解得：${v}_{1}=2\sqrt{gR}$              ②
（2）設(shè)A與臺(tái)階碰撞前瞬間，A、B的速度分別為v_A和v_B，由動(dòng)量守恒定律得：
mv₁=mv_B+2mv_A                   ③
若A與臺(tái)階只碰撞一次，碰撞后必須滿(mǎn)足：|2mv_A|≥|mv_B|④
對(duì)A應(yīng)用動(dòng)能定理：$μmgS=\frac{1}{2}×2m{v}_{A}^{2}$              ⑤
聯(lián)立③④⑤解得：$s≥\frac{R}{4μ}$                  ⑥
即A與臺(tái)階只能碰撞一次的條件是：$s≥\frac{R}{4μ}$
（3）設(shè)S=S₀時(shí)，A左端到臺(tái)階板前瞬間，A、B恰好達(dá)到共同速度v_AB，由動(dòng)量守定律得：
mv₁=（m+2m）v_AB         ⑦
對(duì)A應(yīng)用動(dòng)能定理：$μmg{S}_{0}=\frac{1}{2}×2m{v}_{AB}^{2}$      ⑧
聯(lián)立⑦⑧得：${s}_{0}=\frac{4R}{9μ}$
討論：（i）當(dāng)s≥s₀即s$≥\frac{4R}{9μ}$時(shí)，AB共速后A才與擋板碰撞．
由⑦式可得A與臺(tái)階碰撞前瞬間的A、B的共同速度為：${v}_{AB}=\frac{{v}_{1}}{3}=\frac{2\sqrt{gR}}{3}$
即A與臺(tái)階碰撞前瞬間B的速度為：${v}_{B}={v}_{AB}=\frac{{v}_{1}}{3}$=$\frac{2\sqrt{gR}}{3}$
（ii）當(dāng)${s}_{0}＞s≥\frac{R}{4μ}$即$\frac{4R}{9μ}＞s≥\frac{R}{4μ}$時(shí)，AB共速前A就與臺(tái)階碰撞，對(duì)A應(yīng)用動(dòng)能定理有：$μmgs=\frac{1}{2}×2m{v}_{A2}^{2}$
由上式解得A與臺(tái)階碰撞前瞬間的速度：${v}_{A2}=\sqrt{μgs}$
設(shè)此時(shí)B的速度為v_B′，由動(dòng)量守恒定律得：mv₁=2mv_A2+mv_B′
由解得v_B′=$2\sqrt{g}（\sqrt{R}-\sqrt{μs}）$
答：（1）滑塊B到圓弧底端時(shí)的速度大小v₁為$2\sqrt{gR}$；
（2）A與臺(tái)階只發(fā)生一次碰撞，S滿(mǎn)足的條件為$s≥\frac{R}{4μ}$；
（3）S在滿(mǎn)足（2）條件下，A與臺(tái)階碰撞前瞬間B的速度為$\frac{2\sqrt{gR}}{3}$或$2\sqrt{g}（\sqrt{R}-\sqrt{μs}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題木塊在小車(chē)上滑動(dòng)的類(lèi)型，分析物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，對(duì)于系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒列方程，對(duì)于單個(gè)物體運(yùn)用動(dòng)能定理列式求解位移，都是常用的思路，要加強(qiáng)這方面的練習(xí)，提高解決綜合問(wèn)題的能力．