Question

6．有一光滑圓管ACB被彎成半徑為R圓弧形形狀，O為圓弧圓心，現(xiàn)將該圓弧豎直放置且AOC邊豎直，圓弧右邊與圓心等高處有一個(gè)光滑平臺(tái)，平臺(tái)上可視為質(zhì)點(diǎn)的小球與滑塊之間有一個(gè)被壓縮的彈簧，小球與滑塊的質(zhì)量分別為m、M，彈簧解除鎖定后將小球和滑塊彈開(kāi)，小球離開(kāi)平臺(tái)后從B點(diǎn)進(jìn)入曲管，且能無(wú)碰撞飛入管道，重力加速度為g，求：
（1）平臺(tái)左端P到管口B點(diǎn)的水平距離x；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道壓力；
（3）彈簧開(kāi)始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為多少？

Answer 1

分析 （1）小球從P到B做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求P到管口B點(diǎn)的水平距離x．
（2）小球從P到C過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，據(jù)此列式求出小球達(dá)到C點(diǎn)時(shí)的速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求解小球在運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道壓力．
（3）彈簧解鎖的過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，據(jù)兩大守恒定律列式求解．

解答 解：（1）小球從P到B做平拋運(yùn)動(dòng)，則：
水平方向有：x=v₀t，v_x=v₀；
豎直方向有：Rcos45°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，v_y=gt；
小球能無(wú)碰撞飛入管道，說(shuō)明到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度沿B點(diǎn)的切線方向，則有
  tan45°=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}$
解得：v₀=$\sqrt{\sqrt{2}gR}$，x=$\sqrt{2}$R
（2）小球從P到C過(guò)程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，則
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得
   N-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 N=（3+$\sqrt{2}$）mg
由牛頓第三定律可得，小球?qū)�軌道的壓�?N′=N=（3+$\sqrt{2}$）mg
（3）彈簧解鎖的過(guò)程中系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，取向左為正方向，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得
  mv₀-Mv=0
由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒得：
彈簧開(kāi)始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能 E_p=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}+\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得 E_p=$\frac{\sqrt{2}（M+m）mgR}{2M}$
答：
（1）平臺(tái)左端P到管口B點(diǎn)的水平距離x是$\sqrt{2}$R；
（2）小球在運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)對(duì)軌道壓力是（3+$\sqrt{2}$）mg；
（3）彈簧開(kāi)始時(shí)儲(chǔ)存的彈性勢(shì)能為$\frac{\sqrt{2}（M+m）mgR}{2M}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)綜合題，掌握平拋運(yùn)動(dòng)的研究方法：運(yùn)動(dòng)的分解法，知道彈簧解鎖過(guò)程遵守兩大守恒定律：動(dòng)量守恒守恒和機(jī)械能守恒定律是解題的關(guān)鍵．