Question

14．如圖甲所示，兩個帶正電的小球A、B套在一個傾斜的光滑直桿上，兩球均可視為點電荷，其中A球固定，帶電量Q_A=2×10^-4C，B球的質量為m=0.1kg．以A為坐標原點，沿桿向上建立直線坐標系，A、B球與地球所組成的系統(tǒng)總勢能（重力勢能與電勢能之和）隨位置x的變化規(guī)律如圖中曲線Ⅰ所示，直線Ⅱ為曲線I的漸近線．圖中M點離A點距離為6米．（g取10m/s²，靜電力恒量k=9.0×10⁹N•m²/C²．令A處所在平面為重力勢能的零勢能面，無窮遠處為零電勢能處）．

（1）求桿與水平面的夾角θ； 
（2）求B球的帶電量Q_B；
 （3）求M點電勢φ_M；
（4）若B球以E_k0=4J的初動能從M點開始沿桿向上滑動，求B球運動過程中離A球的最近距離及此時B球的加速度．

Answer 1

分析 （1）由圖運用數學知識得到 E_p=mgxsinθ=kx，從而的角度θ；
（2）由圖乙中的曲線Ⅰ知，在x=6m出總勢能最小，動能最大，該位置B受力平衡，根據平衡條件和庫侖定律求解電荷量．
（3）根據電勢和電勢能關系求解電勢；
（4）根據能量守恒和牛頓運動定律求解加速度a．

解答 解：（1）漸進線Ⅱ表示B的重力勢能隨位置的變化關系，即 E_p=mgxsinθ=kx
則 sinθ=$\frac{k}{mg}$=0.5   即 θ=30°；
（2）由圖乙中的曲線Ⅰ知，在x=6m出總勢能最小，動能最大，該位置B受力平衡
則有  mgsin30°=k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$    
解得 Q_B=1×10^-5C；
（3）M點的電勢能 E_PM=E_總-E_P=6-3=3J
則M點電勢  φ_M=$\frac{{E}_{pM}}{{Q}_{B}}$=3×10⁵V；
（4）在M點B球總勢能為6J，根據能量守恒定律，當B的動能為零，總勢能為10J，由曲線Ⅰ知B離A的最近距離為 x=2m．
  k$\frac{{Q}_{A}{Q}_{B}}{{x}^{2}}$-mg=ma  解得a=40m/s²，方向沿桿向上；
答：
（1）桿與水平面的夾角θ為30°；
（2）B球的帶電量Q_B是1×10^-5C；  
（3）M點電勢φ_M是3×10⁵V；
（4）若B球以E_k0=4J的初動能從M點開始沿桿向上滑動，B球運動過程中離A球的最近距離是2m，此時B球的加速度是40m/s²，方向沿桿向上．

點評 此題考查讀圖能量，注意選擇合適的點，分析隱含的條件，同時要熟練應用牛頓運動定律和能量守恒解題．