Question

11．如圖所示，AB是一個(gè)半徑為R的$\frac{1}{4}$圓�。˙點(diǎn)切線水平且距地面高也為R），在AB的圓弧軌道．上放一個(gè)半徑也為R的帶鉤的小圓弧片CD，再在CD的D端放一個(gè)質(zhì)量為m的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），已知小物塊與CD弧片間動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=$\sqrt{3}$．現(xiàn)沿圓弧AB緩緩向上拉動(dòng)CD弧片，直到小物塊開始滑離CD弧片為止（計(jì)算時(shí)，可以認(rèn)為最大靜摩擦力大小等于滑動(dòng)摩擦力大�。�．則：
（1）此過程中，CD弧片對(duì)小物塊的靜摩擦力對(duì)其所做的功為多少？
（2）若小物塊滑離CD沿AB軌道下滑又從B端滑出，并做平拋運(yùn)動(dòng)，而后落到離E點(diǎn)水平距離也為R的水平地面上，則AB弧對(duì)小物塊的滑動(dòng)摩擦力對(duì)其所做的功為多少？

Answer 1

分析 （1）分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用能量守恒定律求出功．
（2）物塊離開軌道后做平拋運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律與動(dòng)能定理即可正確解題．

解答 解：（1）拉著CD弧片沿圓弧軌道AB緩緩向上運(yùn)動(dòng)過程中，對(duì)小物塊進(jìn)行受力分析，共受到重力mg、支持力F_N和靜摩擦力F₀三個(gè)力的作用，設(shè)物塊與O點(diǎn)的連線與豎直方向的夾角為θ，
那么，有：F_N=mgcosθ，當(dāng)θ從零開始逐漸增大的過程中，F(xiàn)_N逐漸減小，CD弧片能夠給小物塊的最大靜摩擦力F₀=μFN=mgcosθ越來越小，
而引起小物塊沿CD弧片下滑趨勢(shì)的重力的沿圓弧軌道的切線方向的分力mgsinθ卻在逐漸增大，
當(dāng)F₀=mgsinθ時(shí)，物塊即將離開弧片CD而下滑，設(shè)此時(shí)θ=θ₀，則tanθ₀=μ=$\sqrt{3}$，θ₀=60°，
故此過程中物塊沿圓弧AB上升的高度為：h=R（1-cos60°）=$\frac{1}{2}$R，
由功能關(guān)系得靜摩擦力所做的功為：W₁=mgh=$\frac{1}{2}$mgR；
（2）設(shè)物塊離開AB做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度為v₀，
由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：
R=v₀t，R=$\frac{1}{2}$gt²，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$，
設(shè)物塊沿AB弧下滑過程中，滑動(dòng)摩擦力所做的功為W₂，則根據(jù)動(dòng)能定理得：
$\frac{1}{2}$mgR+W₂=$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：W₂=-$\frac{1}{4}$mgR；
答：（1）此過程中，CD弧片對(duì)小物塊的靜摩擦力對(duì)其所做的功為$\frac{1}{2}$mgR．
（2）AB弧對(duì)小物塊的滑動(dòng)摩擦力對(duì)其所做的功為-$\frac{1}{4}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求功，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律、動(dòng)能定理即可正確解題．