Question

13．控制帶電粒子的運(yùn)動(dòng)在現(xiàn)代科學(xué)實(shí)驗(yàn)、生產(chǎn)生活、儀器電器等方面有廣泛的應(yīng)用．現(xiàn)有這樣一個(gè)簡化模型：如圖所示，y軸左、右兩邊均存在方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度始終為左邊的2倍．在坐標(biāo)原點(diǎn)O處，一個(gè)電荷量為+q、質(zhì)量為m的粒子a，在t=0時(shí)以大小為v₀的初速度沿x軸正方向射出，另一與a相同的粒子b某時(shí)刻也從原點(diǎn)O以大小為v₀的初速度沿x軸負(fù)方向射出．不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用，粒子相遇時(shí)互不影響．
（1）若a粒子能經(jīng)過坐標(biāo)為（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$l，$\frac{1}{2}$l）人P點(diǎn)，求y軸右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁
（2）為使粒子a、b能在y軸上Q（0，-l₀）點(diǎn)相遇，求y軸右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₂；
（3）若y軸右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，求粒子a、b在運(yùn)動(dòng)過程中可能相遇的坐標(biāo)值．

Answer 1

分析 兩個(gè)帶電粒子在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場中向不同方向做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，涉及相遇、多解等問題，是該專題的難點(diǎn)．
（1）a粒子向右做勻速圓周運(yùn)動(dòng)通過某點(diǎn)，根據(jù)該點(diǎn)的坐標(biāo)，用勾股定理求出半徑，再由洛侖茲力提供向心力求得右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度．
（2）右邊磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂最小，說明Q點(diǎn)是a、b粒子在y軸上第一次相遇的點(diǎn)，畫出a、b粒子的軌跡，由相遇點(diǎn)的坐標(biāo)找到半徑，同樣洛侖茲力提供向心力，也就求出了磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值．
（3）畫出a、b粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，由圖知：只有在兩軌跡相交或相切的那些點(diǎn)，才有相遇的可能性，所以有y軸上的相切點(diǎn)和 y軸左側(cè)的相交點(diǎn)．經(jīng)分析可知，只要a、b粒子從O點(diǎn)出發(fā)的時(shí)間差滿足 一定的條件，這些相交或相切的點(diǎn)均能相遇．通過分析，相切點(diǎn)只能y軸上、相遇點(diǎn)在y軸左側(cè)且滿足一定關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)a粒子在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)的半徑為R₁，由幾何關(guān)系有：
   $（{R}_{1}-\frac{1}{2}l）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}l）^{2}={{R}_{1}}^{2}$  
  由于  ${B}_{1}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{1}}$                                                                    
  解得  ${B}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{ql}$                  
（2）B₂最小，說明Q點(diǎn)是a、b粒子在y軸上第一次相遇的點(diǎn)，由圖乙可知，a、b粒子同時(shí)從O點(diǎn)  出發(fā)，且粒子在y軸右側(cè)運(yùn)動(dòng)的圓周運(yùn)動(dòng)半徑為：${R}_{2}=\frac{{l}_{0}}{2}$
  又  ${B}_{2}q{v}_{0}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{R}_{2}}$                
  解得：${B}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{q{l}_{0}}$                 
（3）由圖丙可見，只有在兩軌跡相交或相切的那些點(diǎn)，才有相遇的可能性，所以有y軸  上的相切點(diǎn)和 y軸左側(cè)的相交點(diǎn)．經(jīng)分析可知，只要a、b粒子從O點(diǎn)出發(fā)的時(shí)間差滿足  一定的條件，這些相交或相切的點(diǎn)均能相遇．
  粒子在y軸右側(cè)的運(yùn)動(dòng)半徑為：${r}_{1}=\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$ 
  粒子在y軸左側(cè)的運(yùn)動(dòng)半徑為：${r}_{2}=\frac{2m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$        
①y軸上的相切點(diǎn)坐標(biāo)為$（0，-\frac{2km{v}_{0}}{{B}_{0}q}）$     （k=1，2，3，…）         
②y軸左側(cè)的相交點(diǎn)相遇，由丙圖可知，OA=AC=OC=r₂
可得：${x}_{A}=-{r}_{2}sin60°=-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$     
${y}_{A}=-{r}_{2}cos60°=-\frac{m{v}_{0}}{{B}_{0}q}$     
y軸左側(cè)的相遇點(diǎn)的坐標(biāo)為：

$[-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}，-\frac{（2n-1）m{v}_{0}}{{B}_{0}q}]$    （n=1，2，3，…）

答：（1）若a粒子能經(jīng)過坐標(biāo)為（$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$l，$\frac{1}{2}$l）人P點(diǎn)，y軸右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁的大小為$\frac{m{v}_{0}}{ql}$．
（2）為使粒子a、b能在y軸上Q（0，-l₀）點(diǎn)相遇，求y軸右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值B₂大小為$\frac{2m{v}_{0}}{q{l}_{0}}$．
（3）若y軸右邊磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，粒子a、b在運(yùn)動(dòng)過程中可能相遇的坐標(biāo)值分兩種情況：①y軸上的相切點(diǎn)坐標(biāo)為$（0，-\frac{2km{v}_{0}}{{B}_{0}q}）$     （k=1，2，3，…）；   ②y軸左側(cè)的相遇點(diǎn)的坐標(biāo)為$[-\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{{B}_{0}q}，-\frac{（2n-1）m{v}_{0}}{{B}_{0}q}]$（n=1，2，3，…）．

點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)在于第三問的多解：由于粒子在左側(cè)的半徑是右側(cè)的2倍，先畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，找到在y軸上能夠相切的點(diǎn)的坐標(biāo)，顯然是右側(cè)半徑的整數(shù)倍；再分析能夠在y軸左側(cè)相交的坐標(biāo)，顯然相關(guān)點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．