Question

16．如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置．兩個質量均為m的小球A、B以不同的速度進入管內，若要使A球和B球通過最高點C時，恰好對管壁壓力為零，求：
（1）A、B兩球的速度要滿足什么條件？
（2）A球通過最高點C時，對管壁上部的壓力為3mg，B球通過最高點C時，對管壁下部的壓力為0.75mg，那么A、B兩球落地點間的距離？

Answer 1

分析 （1）若要使A球和B球通過最高點C時，恰好對管壁壓力為零，則在最高點由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）對兩個球分別受力分析，根據(jù)合力提供向心力，求出速度，此后球做平拋運動，正交分解后，根據(jù)運動學公式列式求解即可．

解答 解：（1）若要使A球和B球通過最高點C時，恰好對管壁壓力為零，則在最高點由重力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$
（2）兩個小球在最高點時，受重力和管壁的作用力，這兩個力的合力作為向心力，離開軌道后兩球均做平拋運動，A、B兩球落地點間的距離等于它們平拋運動的水平位移之差．
對A球：3mg+mg=$m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
解得
v_A=$\sqrt{4gR}$
對B球：mg-0.75mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{1}{4}gR}$
由平拋運動規(guī)律可得落地時它們的水平位移為：
s_A=v_At=v_A$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=4R
s_B=v_Bt=v_B$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=R
所以有：s_A-s_B=3R
即AB兩球落地點間的距離為3R．
答：（1）A、B兩球的速度要滿足$v=\sqrt{gR}$；
（2）A、B兩球落地點間的距離為3R．

點評 本題關鍵是對小球在最高點處時受力分析，然后根據(jù)向心力公式和牛頓第二定律求出平拋的初速度，最后根據(jù)平拋運動的分位移公式列式求解．