Question

17．如圖所示，圓形勻強磁場半徑R=4cm，磁感應強度B₂=10^-2T，方向垂直紙面向外，其上方有一對水平放置的平行金屬板M、N，間距為d=2cm，N板中央開有小孔S．小孔位于圓心O的正上方，S與O的連線交磁場邊界于A．$\overline{SA}$=2cm，兩金屬板通過導線與寬度為L₁=0.5m的金屬導軌相連，導軌處在垂直紙面向里的勻強磁場中，磁感應強度為B₁=1T．有一長為L₂=1m的導體棒放在導軌上，導體棒與導軌接觸良好且始終與導軌垂直．現(xiàn)對導體棒施一力F，使導體棒以v₁=8m/s勻速向右運動．有一比荷$\frac{q}{m}$=5×10⁷C/kg的粒子（不計重力）從M板處由靜止釋放，經(jīng)過小孔S，沿SA進入圓形磁場，求：
（1）導體棒兩端的電壓；
（2）M、N之間場強的大小和方向；
（3）粒子在離開磁場前運動的總時間（計算時取π=3）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)公式E=BLv求出導體棒兩端的電壓；
（2）結合上題的結果求出M、N之間的電壓，根據(jù)勻強電場的電場強度公式E=$\frac{U}jl5p73b$，求出M、N之間場強的大小和方向；
（3）帶電粒子在電場中加速，再在磁場中偏轉，根據(jù)牛頓第二定律和運動學公式求出在電場中運動的時間．根據(jù)帶電粒子在磁場中運動的周期公式和圓心角的大小，求出粒子在磁場中的運動的時間，從而得出離子在磁場中運動的總時間．

解答 解：（1）導體棒兩端的電壓為：U₁=E₂=B₂L₂v₁=1×1×8V=8V．

（2）M、N之間的電壓為：U₂=E₂=B₂L₁v₁=1×0.5×8V=4V．
M、N之間的場強大小 E=$\frac{{U}_{2}}jjr1fzz$=$\frac{4}{0.02}$=200V/m，方向豎直向下．

（3）粒子在MN間加速運動的過程，有：a=$\frac{qE}{m}$=5×10⁷×200=1×10¹⁰m/s²；
由 d=$\frac{1}{2}$a${t}_{1}^{2}$得：t₁=$\sqrt{\frac{2d}{a}}$=$\sqrt{\frac{2×2×1{0}^{-2}}{1×1{0}^{10}}}$s=2×10^-6s，
粒子離開電場時的速度為：v=at₁=1×10¹⁰×2×10^-6=2×10⁴m/s，
粒子在SA段運動的時間為：t₂=$\frac{\overline{SA}}{v}$=$\frac{2×1{0}^{-2}}{2×1{0}^{4}}$=1×10^-6s，
粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動．有：qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{2×1{0}^{4}}{5×1{0}^{7}×1×1{0}^{-2}}$m=0.04m=4cm，
則知得：r=d
設粒子在磁場軌跡對應的圓心角為θ，則由幾何知識得：θ=90°
則粒子在磁場中運動的時間為：t₃=$\frac{1}{4}$T=$\frac{1}{4}$•$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{5×1{0}^{7}×1×1{0}^{-2}}$s=3×10^-6s，
故粒子在離開磁場前運動的總時間 t=t₁+t₂+t₃=（2+1+3）×10^-6 s=6×10^-6s．
答：（1）導體棒兩端的電壓是8V；
（2）M、N之間的電場強度的大小200V/m，方向豎直向下；
（3）粒子在離開磁場前運動的總時間是6×10^-6 s．

點評 解決本題的關鍵掌握法拉第電磁感應定律，掌握帶電粒子在勻強磁場中運動的半徑公式和周期公式，結合幾何關系進行求解．