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2.如圖所示,豎直固定的光滑$\frac{1}{4}$圓弧軌道0A和光滑$\frac{1}{2}$圓弧軌道AB在最低點A平滑連接.OA弧的半徑為R,AB弧的半役為$\frac{R}{2}$.一小球從0點正上方高h(未知)處由靜止釋放,小球經O點進入圓弧軌道運動,小球能夠運動到半圓弧的最高點B,并在此后擊中OA弧上的點P.不計空氣阻力,設BP與AB間的夾角為α,求:
(1)h應滿足的條件;
(2)α的最小值(可用反三角函數(shù)表示).

分析 (1)根據(jù)牛頓第二定律得出B點的最小速度,結合動能定理求出h的最小值,從而得出h滿足的條件.
(2)根據(jù)平拋運動的規(guī)律,結合動能定理得出h的表達式,根據(jù)h滿足的條件得出α的最小值.

解答 解:(1)小球從釋放至運動到B點,由動能定理得,$mgh=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$,①
在B點,根據(jù)牛頓第二定律得,mg=$m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{\frac{R}{2}}$,②
解得h的最小值h=$\frac{R}{4}$.③
則h≥$\frac{R}{4}$.④
(2)在水平方向上,有:Rsinα=vBt,⑤
在豎直方向上,有:$Rcosα=\frac{1}{2}g{t}^{2}$,⑥
聯(lián)立①⑤⑥得,h=$\frac{R}{4}(\frac{1}{cosα}-cosα)$     ⑦
因為$h≥\frac{R}{4}$,當h=$\frac{R}{4}$時,α角最小,⑧
解得cosα=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$,
則$α=arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
答:(1)h應滿足的條件為h≥$\frac{R}{4}$.
(2)α的最小值為$arccos\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

點評 本題動能定理和牛頓第二定律的綜合運用,設計到圓周運動和平拋運動,知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律,以及圓周運動向心力的來源是解決本題的關鍵.

練習冊系列答案
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(1)求物體運動的最大速度;
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(2)剎車后2s內前進的位移x2的大。
(3)剎車后6s汽車位移x6的大。

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14.質量為m的小球被系在輕繩一端,在豎直平面內做半徑為R的圓周運動,運動過程中小球受到空氣阻力的作用.設某一時刻小球通過軌道的最低點,此時繩子的張力為9mg,此后小球繼續(xù)做圓周運動,經過半個圓周恰能通過最高點,則在此過程中小球克服空氣阻力所做的功為( 。
A.$\frac{3}{2}$mgRB.$\frac{1}{3}$mgRC.$\frac{1}{2}$mgRD.mgR

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11.物體做直線運動,速度變化量的方向與速度方向相同,某時刻開始速度變化率減小,則( 。
A.物體速度將增大,且速度增加得越來越慢
B.物體速度將減小,當速度變化率減小為0時,物體速度最小
C.物體速度減小,當速度變化率減小為0時,物體靜止
D.物體速度增大,當速度變化率減小為0時,物體速度達到最大

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12.電源的電動勢為2V,表明了電源具有這樣的本領( 。
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D.在每秒內能使每庫侖的電量有2J的電能

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