Question

20．如圖所示，da、cb為相距l(xiāng)=0.4m的平行導軌，電阻不計，a、b間接一個固定電阻R=3Ω．長直細金屬桿MN斜架在平行導軌上，與da成θ=37⁰角，以速度v=6m/s垂直于MN向右勻速滑行，桿單位長度電阻值為r=3Ω．整個空間充滿勻強磁場，磁感應強度的大小為B=0.3T，方向垂直紙面（dabc平面）向里．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）電阻R上電流的方向
（2）MN兩點的電勢差
（3）如果θ是一個變量的，電阻R上有最大功率．某同學解答到最后的結果如下：
P=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}{v}^{2}}{R}$$\frac{1}{（sinθ+l）^{2}}$，他認為當sinθ=0時功率最大．
你認為他的求解方法正確嗎？如果不正確，請求出正確的值．

Answer 1

分析 （1）由右手定則判斷出MN產生的感應電流方向，即可得到電阻R上電流的方向．
（2）MN間的電勢差即為R兩端的電壓，先求出感應電動勢，再由歐姆定律和電壓分配關系求解．
（3）根據上題的表達式，當MN的有效電阻等于R時R上有最大功率，并判斷該同學的解法是否正確．

解答 解：（1）由右手定則判斷知，MN產生的感應電流方向由N→M，則電阻R上的電流方向a→b．
（2）MN產生的感應電動勢為：E=B$\frac{l}{sinθ}$v
總電阻為：R_總=R+$\frac{l}{sinθ}$r
回路中電流為：I=$\frac{E}{{R}_{總}}$=$\frac{Blv}{Rsinθ+lr}$=0.24（A）
MN兩點的電勢差：U_MN=IR=0.72V
（3）他的解法不正確．
電阻R上的功率最大，有 $\frac{l}{sinθ}$r=R，即得 sinθ=0.4時，R的功率最大．
最大功率為：P=I²R=$\frac{{B}^{2}{v}^{2}}{4R}$=0.27（W）
答：
（1）電阻R上的電流方向a→b．
（2）MN兩點的電勢差是0.72V．
（3）他的解法不正確．R的最大功率為0.27W．

點評 解決本題的關鍵要明確MN的有效切割長度等于桿兩軌道之間的長度，掌握電源的輸出功率取得最大的條件：電源的內外電阻相等．