Question

18．如圖所示為一透明柱形棱鏡的橫截面圖，圓弧EF是半徑為R的圓的四分之一，圓心為O，ABOF為矩形，OE的中點為P．光線以入射角i=30°從AB面上的M點射入，光進入棱鏡后到達BE面恰好在P點發(fā)生全反射，最后由EF面上的N點射出．已知OB=$\frac{R}{2}$，真空中的光速為c，求：
（1）棱鏡的折射率n；
（2）光從M點傳播到P點所用的時間t以及從N點射出時的折射角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）光線射入棱鏡后射在BE面上的P點并恰好在BC面上發(fā)生全反射，入射角等于臨界角C．根據(jù)折射定律分別研究光線在AB面上的折射和在BC面的全反射，即可求解折射率n．
（2）由公式v=$\frac{c}{n}$求出光在棱鏡中傳播速度，由幾何關(guān)系求出MP間的距離，即可求得時間t．由折射定律求光從N點射出時的折射角的正弦值．

解答 解：（1）光路圖如圖．設光線在AB面的折射角為r，根據(jù)折射定律得：
  n=$\frac{sini}{sinr}$
設棱鏡的臨界角為C．由題意，光線在BE面上的P點恰好發(fā)生全反射，則有 sinC=$\frac{1}{n}$
由幾何知識可知，r+C=90°
聯(lián)立以上各式解出 n=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
（2）MP間的距離 s=$\frac{R}{cosr}$
光在棱鏡中傳播速度 v=$\frac{c}{n}$
則光從M點傳播到P點所用的時間 t=$\frac{s}{v}$
解得 t=$\frac{5R}{4c}$
在三角形OPN中，根據(jù)正弦定理得
   $\frac{R}{sin（180°-r）}$=$\frac{\frac{R}{2}}{sinα}$
在N點，由折射定律有 n=$\frac{sinθ}{sinα}$
聯(lián)立得 sinθ=$\frac{1}{4}$
答：
（1）棱鏡的折射率n是$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
（2）光從M點傳播到P點所用的時間t是$\frac{5R}{4c}$，從N點射出時的折射角的正弦值是$\frac{1}{4}$．

點評 本題是折射現(xiàn)象和全反射現(xiàn)象的綜合，關(guān)鍵作出光路圖，掌握全反射的條件和臨界角公式，結(jié)合幾何關(guān)系求解．