Question

4．如圖所示，內(nèi)側(cè)為圓錐凹面的圓柱固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺(tái)上，圓錐凹面與水平面夾角為θ，轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)軸與圓錐凹面的對(duì)稱軸OO′重合．轉(zhuǎn)臺(tái)以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入圓錐凹面內(nèi)，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，小物塊隨圓錐凹面一起轉(zhuǎn)動(dòng)且相對(duì)圓錐凹面靜止，小物塊和O點(diǎn)的距離為L(zhǎng)，重力加速度大小為g．若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零．
（1）求ω₀；
（2）若ω=（1±k）ω₀，且0＜k＜1，小物塊仍相對(duì)圓錐凹面靜止，求小物塊受到的摩擦力大小和方向．

Answer 1

分析 （1）若ω=ω₀，小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出角速度的大�。�
（2）當(dāng)ω＞ω₀，重力和支持力的合力不夠提供向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向下，當(dāng)ω＜ω₀時(shí)，重力和支持力的合力大于向心力，摩擦力方向沿錐面向上，抓住豎直方向上的合力為零，水平方向上的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出摩擦力的大小．

解答 解：（1）當(dāng)ω=ω₀時(shí)，小物塊受重力和支持力，由牛頓第二定律得，
$mgtanθ=m{ω}_{0}^{2}Lcosθ$，
解得ω₀=$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$．
（2）當(dāng)ω=（1+k）ω₀時(shí)，小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力變大，則摩擦力方向沿錐面向下，對(duì)小物塊受力分析，
水平方向：${F}_{N}sinθ+fcosθ=m{ω}^{2}Lsinθ$，
豎直方向：F_Ncosθ-fsinθ=mg，
解得f=k（2+k）mgsinθ．
當(dāng)ω=（1-k）ω₀時(shí)，小物塊做圓周運(yùn)動(dòng)所需向心力變小，則摩擦力方向沿錐面向上，對(duì)小物塊分析，
水平方方向：FNsinθ-fcosθ=mω²Lcosθ，
豎直方向：F_Ncosθ+fsinθ=mg，
解得f=k（2-k）mgsinθ．
答：（1）ω₀為$\sqrt{\frac{gsinθ}{Lco{s}^{2}θ}}$；
（2）當(dāng)ω=（1+k）ω₀時(shí)，f=k（2+k）mgsinθ，方向沿錐面向下；當(dāng)ω=（1-k）ω₀時(shí)，f=k（2-k）mgsinθ，方向沿錐面向上．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解．