Question

13．質譜儀是一種利用電磁場測量帶電粒子質量或者分析同位素的重要工具．一臺質譜儀的簡化結構如圖甲所示，粒子源不斷產生出大量質量為m、電量為q、初速度不計的粒子“飄入”加速電場中，經電壓U加速后，經小孔P沿垂直極板方向進入垂直紙面的磁感應強度為B的勻強磁場中，旋轉半周后打在熒光屏上形成亮點．不計粒子重力和粒子間的相互作用力．

（1）若單位時間內從小孔P射出的粒子個數(shù)為n，求粒子剛射出時速度大小v₀以及粒子擊中熒光屏時對屏的平均作用力大小（擊中屏后粒子不反彈）；
（2）受加速場實際結構的影響，從小孔P處射出的粒子方向會有微小角度的發(fā)散，現(xiàn)在只討論在紙面內有相對極板垂線左右相等的微小角度的發(fā)散（但速度大小都為v₀），光屏上會出現(xiàn)亮線．若粒子源產生的粒子電量均為q，但質量有m₁、m₂兩種（m₂＞m₁），小孔P處粒子速度方向相對極板垂線最大發(fā)散角度滿足什么條件時兩種粒子在屏上形成的亮線恰能重合，并求出這種情況下兩種粒子形成亮線的總寬度△x．
（3）利用小孔P處射出的粒子方向微小角度發(fā)散的現(xiàn)象可以測定粒子的荷質比，其原理可以粗略地按以下模型討論；若粒子源產生的是同一種粒子，將磁場的方向改為垂直極板方向（如圖乙），把熒光屏從緊靠極板位置開始在磁場中逐漸向下緩慢平移，屏上出現(xiàn)亮斑先變大，后變小的現(xiàn)象，當屏與極板距離為d時，亮斑第一次收縮為一個亮點，求該粒子的荷質比．

Answer 1

分析 （1）由動能定理可以求出粒子的速度，應用動量定理可以求出作用力．
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，應用牛頓第二定律求出粒子軌道半徑，然后求出寬度．
（3）根據(jù)粒子做圓周運動的周期公式與勻速運動的位移公式可以求出荷質比．

解答 解：（1）由動能定理得：qU=$\frac{1}{2}$mv₀²-0，解得：v₀=$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
對粒子，由動量定理得：-Ft=0-Nmv₀，
時間：t=$\frac{N}{n}$，解得：F=n$\sqrt{2qmU}$，
由牛頓第三定律可知，粒子對屏的平均作用力大小為：n$\sqrt{2qmU}$；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，
由牛頓第二定律得：qv₀B=m₁$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{1}}$，qv₀B=m₂$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{2}}$，
解得：R₁=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q}}$，R₂=$\frac{1}{B}$$\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q}}$，
設粒子速度方向左右最大發(fā)散角均為θ，由幾何關系各，
沿左右最大發(fā)散角方向射入磁場的粒子擊中光屏上的同一點，且是光斑的最右側邊緣點．
設左右最大發(fā)散角均為θ時，粒子m₂光斑的右邊緣恰好與粒子m₁光斑的左邊緣重合，
如圖所示（圖中虛線為m₂半圓軌跡和向左發(fā)散θ角軌跡，
實線為m₁半圓軌道和向左發(fā)散θ角軌跡，
則：2R₂cos=2R₁，解得：cosθ=$\sqrt{\frac{{m}_{1}}{{m}_{2}}}$，
此時兩種粒子光班總寬度為：△x=2R₂-2R₁cosθ，
△x=$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2U}{q}}$（$\sqrt{{m}_{2}}$-m₁$\sqrt{\frac{1}{{m}_{2}}}$）；
（3）將發(fā)散射入磁場的粒子速度分解為沿磁場方向的速度v和垂直于磁場方向的分速度v_⊥，
v=v₀cosθ，v_⊥=v₀sinθ，由于θ很小，所以cosθ≈1即不同發(fā)散角度的所有粒子的v都近似相等，即：v=v₀，
而發(fā)散角度不同的各粒子的v_⊥有明顯不同，粒子沿v方向做勻速直線運動，
沿v_⊥方向做勻速圓周運動；v方向所有粒子的速度都一樣，v_⊥方向速度不同，軌跡半徑不同，但圓周運動的周期相同．
這樣不同發(fā)散角度的粒子都從同一位置出發(fā)，沿磁感線方向做半徑不同的螺旋線運動，經過一個周期，它們都回旋一周，
同時向前推進相同的距離，這樣，他們又匯聚在同一點上，即在光屏形成一個亮點．粒子做圓周運動的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
由勻速運動的位移公式得：d=vT，解得：$\frac{q}{m}$=$\frac{8{π}^{2}U}{{B}^{2}1x3xpjd^{2}}$；
答：（1）粒子剛射出時速度大小v₀為$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$，粒子擊中熒光屏時對屏的平均作用力大小為n$\sqrt{2qmU}$．
（2）兩種粒子形成亮線的總寬度△x為$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{2U}{q}}$（$\sqrt{{m}_{2}}$-m₁$\sqrt{\frac{1}{{m}_{2}}}$）．
（3）該粒子的荷質比為$\frac{8{π}^{2}U}{{B}^{2}3nxtlhr^{2}}$．

點評 粒子在電場中加速，在磁場中做勻速圓周運動，分析清楚粒子運動過程是解題的前提與關鍵，粒子在磁場中做勻速圓周運動洛倫茲力提供向心力，應用動能定理、動量定理、牛頓第二定律即可解題，解題時注意幾何知識的應用．