Question

10．一輕質(zhì)細(xì)繩一端系一質(zhì)量為m=0.05kg的小球A，另一端掛在光滑水平軸O上，O到小球的距離為L(zhǎng)=0.1m，小球跟水平面接觸，但無(wú)相互作用，在球的兩側(cè)等距離處分別固定一個(gè)光滑的斜面和一個(gè)擋板，如圖所示，水平距離s=2m，動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25．現(xiàn)有一滑塊B，質(zhì)量也為m，從斜面上滑下，與小球發(fā)生彈性正碰，與擋板碰撞時(shí)不損失機(jī)械能．若不計(jì)空氣阻力，并將滑塊和小球都視為質(zhì)點(diǎn)，g取10m/s²，試問(wèn)：
（1）若滑塊B從斜面某一高度h處滑下與小球第一次碰撞后，使小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求此高度h．
（2）若滑塊B從h=5m處滑下，求滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對(duì)小球的拉力．
（3）若滑塊B從h=5m 處下滑與小球碰撞后，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，求小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)．

Answer 1

分析 （1）小球恰好在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，則在最高點(diǎn)時(shí)，由重力恰好提供向心力；對(duì)滑塊從下滑到與小球碰撞過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式．聯(lián)立求解即可；
（2）先對(duì)滑塊從下滑到與小球碰撞過(guò)程運(yùn)用動(dòng)能定理列式求出碰撞前的速度；碰撞，速度傳遞給小球，然后對(duì)小球受力分析，受重力和拉力，根據(jù)合力提供向心力，求解繩子的拉力；
（3）滑塊B從h=5m 處下滑與小球碰撞后，速度傳遞給小球，小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)一圈后從左側(cè)碰撞滑塊，速度傳遞給滑塊，滑塊向右移動(dòng)，碰撞擋板后返回，再次通過(guò)碰撞將速度傳遞給小球，小球順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)一周，從右側(cè)通過(guò)碰撞將速度傳遞給滑塊，滑塊向左移動(dòng)，沖上斜面后返回，再次從左側(cè)碰撞小球，完成一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)；此后不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，直到小球不能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)為止．

解答 解：（1）小球剛能完成一次完整的圓周運(yùn)動(dòng)，它到最高點(diǎn)的速度為v₀，在最高點(diǎn)，僅有重力充當(dāng)向心力，
則有   $mg=m\frac{v_0^2}{L}$ ①
在小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過(guò)程中，機(jī)械能守恒，并設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為v，
則又有 $\frac{1}{2}m{v_1}^2=mg•2L+\frac{1}{2}mv_0^2$  ②
解①②有${v_1}=\sqrt{5}$m/s                                       
滑塊從h高處運(yùn)動(dòng)到將與小球碰撞時(shí)速度為v₂，對(duì)滑塊由能的轉(zhuǎn)化及守恒定律有：
  $mgh=μmg•\frac{s}{2}+\frac{1}{2}m{v_2}^2$
因彈性碰撞后兩球速度交換，則${v_2}=\sqrt{5}$m/s，解上式有h=0.5m        
（2）若滑塊從h′=5m處下滑到將要與小球碰撞時(shí)速度為u，同理有 mgh′=$\frac{1}{2}m{u}^{2}$+μmg•$\frac{s}{2}$ ③
解得$u=\sqrt{95}m/s$
滑塊與小球碰后的瞬間，同理滑塊靜止，小球以 $u=\sqrt{95}m/s$的速度開(kāi)始作圓周運(yùn)動(dòng)，
繩的拉力T和重力的合力充當(dāng)向心力，則有 $T-mg=m\frac{u^2}{L}$ ④
解④式得 T=48N                                                  
（3）滑塊和小球最后一次碰撞時(shí)速度為 $v=\sqrt{5}m/s$
滑塊最后停在水平面上，它通過(guò)的路程為s′
同理有  mgh′=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$+μmg•s′⑤
小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)為 $n=\frac{{s'-\frac{s}{2}}}{s}+1$ ⑥
解⑤、⑥得 s′=19m，n=10次                                      
答：
（1）此高度h是0.5m．
（2）若滑塊B從h=5m處滑下，滑塊B與小球第一次碰后瞬間繩子對(duì)小球的拉力是48N．
（3）小球做完整圓周運(yùn)動(dòng)的次數(shù)是10次．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要明確小球在最高點(diǎn)的臨界條件：重力充當(dāng)向心力，知道滑動(dòng)摩擦力做功與總路程有關(guān)．能根據(jù)牛頓第二定律、機(jī)械能守恒定律、能量守恒定律以及動(dòng)能定理處理圓周運(yùn)動(dòng)與功能關(guān)系的綜合題．