Question

4．如圖所示，在第Ⅱ象限內(nèi)有水平向右的勻強(qiáng)電場，在第Ⅰ象限和第Ⅳ象限的圓形區(qū)域內(nèi)分別存在如圖所示的勻強(qiáng)磁場，在第Ⅳ象限磁感應(yīng)強(qiáng)度大小是第Ⅰ象限的2倍．圓形區(qū)域與x軸相切于Q點(diǎn)，Q到O點(diǎn)的距離為L．有一個帶電粒子質(zhì)量為m，電量為q，以垂直于x軸的初速度從x軸上的P點(diǎn)進(jìn)入勻強(qiáng)電場中，并且恰好與y軸的正方向成60°角以速度v進(jìn)入第Ⅰ象限，又恰好垂直于x軸在Q點(diǎn)進(jìn)入圓形區(qū)域磁場，射出圓形區(qū)域磁場后與x軸正向成30°角再次進(jìn)入第Ⅰ象限．不計重力．求：
（1）第Ⅰ象限內(nèi)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）電場強(qiáng)度E的大�。�
（3）粒子在圓形區(qū)域磁場中的運(yùn)動時間．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)題意畫出粒子的運(yùn)動軌跡，由幾何知識求粒子的軌跡半徑，再根據(jù)洛倫茲力提供向心力，求第Ⅰ象限內(nèi)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大��；
（2）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，由幾何知識求y軸的分位移，由分運(yùn)動的規(guī)律和牛頓第二定律結(jié)合求電場強(qiáng)度E的大小；
（3）根據(jù)時間與周期的關(guān)系求粒子在圓形區(qū)域磁場中的運(yùn)動時間．

解答 解：（1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，軌跡如圖所示．設(shè)粒子在第Ⅰ象限內(nèi)的軌跡半徑為R₁．由幾何關(guān)系有：
R₁+$\frac{{R}_{1}}{2}$=L
得：R₁=$\frac{2}{3}$L
結(jié)合qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$得：
B=$\frac{3mv}{2qL}$
（2）帶電粒子在電場中做類平拋運(yùn)動，由幾何關(guān)系有：
y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$L
v₀=vcos60°=$\frac{v}{2}$
粒子剛出電場時，v_x=vsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$v
粒子在電場中運(yùn)動時間為：
t=$\frac{y}{{v}_{0}}$
v_x=at，
a=$\frac{qE}{m}$
可得：E=$\frac{3m{v}^{2}}{4qL}$
（3）由幾何關(guān)系知，粒子在圓形磁場中運(yùn)動的時間 t′=$\frac{T}{3}$
而 T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{q•2B}$
結(jié)合 B=$\frac{3mv}{2qL}$，得 t′=$\frac{2πL}{9v}$
答：（1）第Ⅰ象限內(nèi)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是$\frac{3mv}{2qL}$；
（2）電場強(qiáng)度E的大小是$\frac{3m{v}^{2}}{4qL}$；
（3）粒子在圓形區(qū)域磁場中的運(yùn)動時間是$\frac{2πL}{9v}$．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是明確粒子先做類似平拋運(yùn)動，后做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)類似平拋運(yùn)動的分速度關(guān)系求解末速度大小和方向；在磁場中關(guān)鍵是畫出軌跡，結(jié)合幾何關(guān)系分析運(yùn)動時間．