Question

5．在地面上方某處的真空室里存在著水平方向的勻強(qiáng)電場，以水平向右和豎直向上為x軸、y軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的微粒從點(diǎn)P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$l，0）由靜止釋放后沿直線PQ運(yùn)動．當(dāng)微粒到達(dá)點(diǎn)Q（0，-l）的瞬間，撤去電場，同時加上一個垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場（圖中未畫出），磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小B=$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$，該磁場有理想的下邊界，其他方向范圍無限大．已知重力加速度為g．求：
（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E的大小；
（2）撤去電場加上磁場的瞬間，微粒所受合外力的大小和方向；
（3）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標(biāo)值應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）微粒在電場中受到電場力和重力，沿PQ方向運(yùn)動，可知微粒所受的合力必定沿PQ方向，可知電場力方向水平向左，作出力的合成圖，求解場強(qiáng)大小．
（2）微粒到達(dá)Q點(diǎn)的速度v可分解為水平分速度為v₁和豎直分速度為v₂．微粒在電場中豎直方向的分運(yùn)動是自由落體運(yùn)動，由下落高度可求出v₂，由速度的分解，求出v₁．撤去電場加上磁場的瞬間，由F=qvB分別求出兩個分速度所對應(yīng)的洛倫茲力，再合成求解微粒的合力大小和方向．
（3）根據(jù)微粒的受力情況，運(yùn)用運(yùn)動的分解法研究：微粒的運(yùn)動可以看作水平面內(nèi)的勻速直線運(yùn)動與豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動的合成，能否穿出下邊界取決于豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，當(dāng)微粒的軌跡剛好與下邊界相切時，得到臨界的半徑，即可求出該磁場下邊界的y軸坐標(biāo)值應(yīng)滿足的條件．

解答 解：（1）由于微粒沿PQ方向運(yùn)動，可知微粒所受的合力沿PQ方向，可得：
qE=mgcotα
由題意得：α=60°
解之得：E=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$
（2）微粒到達(dá)Q點(diǎn)的速度v可分解為水平分速度為v₁和豎直分速度為v₂．
根據(jù)豎直方向上自由落體運(yùn)動規(guī)律有：
v₂²=2gl
則有：v₂=$\sqrt{2gl}$
v₁=v₂tan30°=$\sqrt{\frac{2}{3}gl}$
對于水平分速度v₁，其所對應(yīng)的洛倫茲力大小為f₁，方向豎直向上，則有：
f₁=qv₁B=q•$\sqrt{\frac{2}{3}gl}$•$\frac{m}{q}\sqrt{\frac{3g}{2l}}$=mg
即與重力恰好平衡．
對于豎直分速度v₂，其所對應(yīng)的洛倫茲力大小為f₂，方向水平向左
此力為微粒所受的合力大小為：F=f₂=qv₂B=q•$\sqrt{2gl}$•$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$=$\sqrt{3}$mg，方向沿水平向左．
（3）由（2）可知，微粒的運(yùn)動可以看作水平面內(nèi)的勻速直線運(yùn)動與豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動的合成．
能否穿出下邊界取決于豎直面內(nèi)的勻速圓周運(yùn)動，則有：
qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$
解得：r=$\frac{m{v}_{2}}{qB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l
所以欲使微粒不從其下邊界穿出，磁場下邊界的y坐標(biāo)值應(yīng)滿足：y≤-（r+l）=-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1）l
答：（1）勻強(qiáng)電場的場強(qiáng)E的大小是$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）撤去電場加上磁場的瞬間，微粒所受合外力的大小為$\sqrt{3}$mg，方向水平向左；
（3）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標(biāo)值應(yīng)滿足的條件是y≤-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1）l．

點(diǎn)評 本題中微粒在電場中做直線運(yùn)動，抓住質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動的條件：合力與速度共線分析并求解場強(qiáng)的大�。�加上磁場后，運(yùn)用分解的方法研究洛倫茲力，此法不常用，要嘗試運(yùn)用．