Question

2．土星周圍有許多大小不等的巖石顆粒，它們繞土星的運動均可視為勻速圓周運動．其中有兩個巖石顆粒A、B與土星中心的距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r　_B=1.2×10⁵km，忽略所有巖石顆粒間的相互作用．
（1）求A和B的線速度之比$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$．
（2）求A和B的周期之比$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$．
（3）假設(shè)A、B在同一平面內(nèi)沿同一方向做勻速圓周運動，A的周期為T₀，求它們從相距最遠(yuǎn)到相距最近所需要的最短時間．

Answer 1

分析 （1）巖石顆粒繞土星做圓周運動的向心力來源于土星的萬有引力，由牛頓第二定律和萬有引力定律列式，得到線速度的表達(dá)式，即可求解線速度之比．
（2）由圓周運動的基本規(guī)律求周期之比．
（3）A、B繞土星做勻速圓周運動，當(dāng)B轉(zhuǎn)過的角度與A轉(zhuǎn)過的角度之差等于π時，衛(wèi)星相距最近．

解答 解：（1）設(shè)土星質(zhì)量為M，顆粒質(zhì)量為m，顆粒距土星中心距離為r，線速度為v，由牛頓第二定律和萬有引力定律：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
其中有兩個巖石顆粒A、B與土星中心的距離分別為r_A=8.0×10⁴km和r　_B=1.2×10⁵km，
解得：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
（2）設(shè)顆粒繞土星作圓周運動的周期為T，則：T=$\frac{2πr}{v}$
r_A=8.0×10⁴km和r_B=1.2×10⁵km，$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$
解得：$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$
（3）A、B繞土星做勻速圓周運動，當(dāng)B轉(zhuǎn)過的角度與A轉(zhuǎn)過的角度之差等于π時，衛(wèi)星相距最近．
$\frac{2π}{{T}_{0}}$×t-$\frac{2π}{\frac{3{\sqrt{6}T}_{0}}{4}}$×t=π
t=$\frac{3（9+2\sqrt{6}{）T}_{0}}{38}$
答：（1）A和B的線速度之比$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$；
（2）A和B的周期之比$\frac{{T}_{A}}{{T}_{B}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{9}$．
（3）它們從相距最遠(yuǎn)到相距最近所需要的最短時間是$\frac{3（9+2\sqrt{6}{）T}_{0}}{38}$．

點評 此題是衛(wèi)星類型，抓住萬有引力等于向心力及圓周運動的基本規(guī)律，即可進行求解．向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或所求解的物理量選取應(yīng)用．