Question

13．如圖所示，兩根平行的金屬軌道ABC和DEF放置在水平面上，導(dǎo)軌間距為d，其左半部分光滑與水平面成60°角，右半部分粗糙與水平面成30°角，金屬棒MN與軌道間的動摩擦因數(shù)為μ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，兩側(cè)均有垂直于軌道平面的有界磁場B，今有兩根質(zhì)量都是m，電阻卷尾R的金屬棒PQ和MN橫跨在導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌接觸良好，棒PQ在左磁場外，MN處在右磁場中．棒PQ距磁場上邊界L處由靜止釋放，當(dāng)PQ進入磁場后運動距離L時，棒MN恰以速度v離開右側(cè)磁場區(qū)域，該過程中PQ產(chǎn)生的焦耳熱為Q，重力加速度為g，試求：
（1）棒MN剛開始運動時的加速度；
（2）棒MN即將離開磁場時棒PQ的加速度；
（3）若斜面足夠長，棒PQ所能達到的最大速度．

Answer 1

分析 （1）對MN受力分析根據(jù)牛頓第二定律知識求解；
（2）根據(jù)串并聯(lián)電路特點求得MN中產(chǎn)生的熱量，再有能量守恒定律求解此時PQ的速度，結(jié)合牛頓第二定律求得加速度．
（3）棒PQ所能達到的最大速度時，合外力為零，根據(jù)受力平衡求得速度．

解答 解：（1）對MN棒受力分析，受重力、摩擦力及支持力，沿斜面方向：F₁=mgsinθ=5m，摩擦力：f=umgcosθ=5m，則二力平衡，故MN棒開始時靜止，
當(dāng)PQ棒下降L后，速度為：mgLsinα=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得：$v=\sqrt{\sqrt{3}gL}$，進入磁場時產(chǎn)生的電動勢：E=Bdv=Bd$\sqrt{\sqrt{3}gL}$，此時回路中感應(yīng)電流為：$I=\frac{E}{2R}=\frac{Bd\sqrt{\sqrt{3}gL}}{2R}$
有左手定則判定MN受到向下的安培力，此時對MN棒受力分析，受重力、安培力、摩擦力及支持力，由牛頓第二定律得：F_合=BIL+mgsinθ-umgcosθ，
$a=\frac{{F}_{合}}{m}$
解得：a=$\frac{BId}{m}$+gsin θ-μgcos θ=$\frac{{B}^{2}ufswhkg^{2}\sqrt{\sqrt{3}gL}}{2mR}$+10×0.5-$\frac{\sqrt{3}}{3}$×10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{{B}^{2}jajkxiw^{2}\sqrt{\sqrt{3}gL}}{2mR}$m/s²．
（2）根據(jù)串并聯(lián)電路特點，PQ產(chǎn)生的焦耳熱為Q，MN中產(chǎn)生的熱量也為Q，設(shè)此時MN下降高度為h，PQ的速度為v₁，
根據(jù)動能定理得：mg2Lsinα$+mgh-f\frac{h}{sinθ}$-2Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$，又因為：f$\frac{h}{sinθ}=\frac{\sqrt{3}}{3}mg\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{h}{\frac{1}{2}}=mgh$，解得：v₁=$\sqrt{2\sqrt{3}gL-\frac{4Q}{m}-{v}^{2}}$
對PQ受重力、安培力及支持力，由牛頓第二定律得：F_合=mgsinθ-BId=mgsin60°-$\frac{{B}^{2}ssfkibg^{2}\sqrt{2\sqrt{3}gL-\frac{4Q}{m}-{v}^{2}}}{2R}$
解得：a=5$\sqrt{3}-\frac{{B}^{2}oydgdwz^{2}\sqrt{2\sqrt{3}gL-\frac{4Q}{m}-{v}^{2}}}{2mR}$；
（3）棒PQ所能達到的最大速度時，PQ受力平衡，由牛頓第二定律得：mgsin60°=BId，即：$\frac{\sqrt{3}}{2}mg=\frac{{B}^{2}yocccyp^{2}V}{2R}$，解得：$V=\frac{\sqrt{3}mgR}{{B}^{2}myqilec^{2}}$；
答：（1）棒MN剛開始運動時的加速度為$\frac{{B}^{2}uxyybwk^{2}\sqrt{\sqrt{3}gL}}{2mR}$m/s²；
（2）棒MN即將離開磁場時棒PQ的加速度為5$\sqrt{3}-\frac{{B}^{2}jlriias^{2}\sqrt{2\sqrt{3}gL-\frac{4Q}{m}-{v}^{2}}}{2mR}$；
（3）棒PQ所能達到的最大速度為$\frac{\sqrt{3}mgR}{{B}^{2}ylgtiye^{2}}$．

點評 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)知識的綜合，關(guān)鍵是計算安培力的大小和分析能量怎樣轉(zhuǎn)化，根據(jù)平衡條件和能量守恒進行研究，本題開始時受力分析是解題的關(guān)鍵．