Question

19．傾角為30°的足夠長(zhǎng)光滑斜面下端與一足夠長(zhǎng)光滑水平面相接，連接處用一光滑小圓弧過(guò)渡，斜面上距水平面高度分別為h₁=5m和h₂=0.2m的兩點(diǎn)上，各固定一小球A和B．某時(shí)刻由靜止開(kāi)始釋放A球，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t后，同樣由靜止開(kāi)始釋放B球．g取10m/s²，則：
（1）為了保證A、B兩球不會(huì)在斜面上相碰，t最長(zhǎng)不能超過(guò)多少？
（2）在滿(mǎn)足（1）的情況下，為了保證兩球在水平面上的碰撞次數(shù)不少于兩次，兩球的質(zhì)量m_A和m_B應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？（假設(shè)兩球的碰撞過(guò)程沒(méi)有能量損失）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出小球在斜面上下滑的加速度，根據(jù)位移時(shí)間公式分別求出兩球在斜面上的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，從而得出t的最大時(shí)間．
（2）兩球碰撞過(guò)程系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，應(yīng)用動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律列方程，然后求出兩球間的質(zhì)量關(guān)系．

解答 解：（1）設(shè)兩球在斜面上下滑的加速度為a，
根據(jù)牛頓第二定律得：mgsin30°=ma，
設(shè)A?B兩球下滑到斜面底端所用時(shí)間分別為t₁和t₂，則：
$\frac{{h}_{1}}{sin30°}$=$\frac{1}{2}$at₁²，$\frac{{h}_{2}}{sin30°}$=$\frac{1}{2}$at₂²，t=t₁-t₂，
代入數(shù)據(jù)解得：t=1.6s．
（2）設(shè)A?B兩球下滑到斜面底端時(shí)速度分別為v₁和v₂，
第一次相碰后速度分別為v_A和v_B，則根據(jù)機(jī)械能守恒得：
$\frac{1}{2}$m_Av₁²=m_Agh₁ ①
$\frac{1}{2}$m_Bv₂²=m_Bgh₂ ②
以向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：m_Av₁+m_Bv₂=m_Av_A+m_Bv_B ③
由能量守恒定律的：$\frac{1}{2}$m_Av₁²+$\frac{1}{2}$m_Bv₂²=$\frac{1}{2}$m_Av_A²+$\frac{1}{2}$m_Bv_B²  ④
為使兩球能發(fā)生第二次碰撞，應(yīng)滿(mǎn)足：v_A＜0且|v_A|＞v_B ⑤
由①②③④⑤代入數(shù)據(jù)后可得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$＜$\frac{1}{7}$．
答：（1）為了保證A、B兩球不會(huì)在斜面上相碰，t最長(zhǎng)不能超過(guò)1.6s．
（2）在滿(mǎn)足（1）的情況下，為了保證兩球在水平面上的碰撞次數(shù)不少于兩次，兩球的質(zhì)量m_A和m_B應(yīng)滿(mǎn)足的條件是$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$＜$\frac{1}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求運(yùn)動(dòng)時(shí)間、兩球質(zhì)量關(guān)系，分析清楚兩球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程是正確解題的前提，應(yīng)用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式、動(dòng)量守恒定律與機(jī)械能守恒定律即可正確解題；知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁，在求解追及問(wèn)題時(shí)，抓住位移關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式分析求解．