Question

15．靜電場(chǎng)方向平行于x軸，其電勢(shì)φ隨x的分布可以簡(jiǎn)化為如圖所示的折線，圖中φ₀和d為已知量．一個(gè)重力不計(jì)，質(zhì)量為m，帶電量為-q的負(fù)電粒子在電場(chǎng)中，以x=0為中心，沿x軸方向在[-A，A]間做周期運(yùn)動(dòng)（A＜d）．求：
（1）寫(xiě)出電勢(shì)隨x的變化規(guī)律關(guān)系式和粒子所受電場(chǎng)力大小
（2）粒子動(dòng)能隨x的變化規(guī)律關(guān)系式
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)周期．

Answer 1

分析 （1）由圖可知，電勢(shì)隨x均勻變化，則可知電場(chǎng)為勻強(qiáng)電場(chǎng)，由電勢(shì)差與電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系可求得電場(chǎng)強(qiáng)度，即可求得電場(chǎng)力；
（2）由題意可知，動(dòng)能與電勢(shì)能之和保持不變，設(shè)出運(yùn)動(dòng)區(qū)間為[-x，x]，由題意可知x處的電勢(shì)，則由數(shù)學(xué)關(guān)系可求得x值
（3）粒子在區(qū)間內(nèi)做周期性變化，且從最遠(yuǎn)點(diǎn)到O點(diǎn)時(shí)做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，則由運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律可求得周期

解答 解：（1）-d≤x≤0區(qū)間  $k=\frac{ϕ_0}f7vzgeq$
故：$ϕ=\frac{ϕ_0}mry23z6x+{ϕ_0}={ϕ_0}（\frac{x}8colu22+1）$（-d≤x≤0
0≤x≤d區(qū)間  $k=-\frac{ϕ_0}wahiq8j$
故：$ϕ=-\frac{ϕ_0}q3t8kl3x+{ϕ_0}={ϕ_0}（1-\frac{x}7p3i3be）$（0≤x≤d）
或在整個(gè)區(qū)域內(nèi)，$ϕ={ϕ_0}（1-\frac{1x1}y3rzzb7）$（x＜d）
由圖可知電場(chǎng)強(qiáng)度大小$E=\frac{ϕ_0}ouddik3$
則電場(chǎng)力大小$F=qE=\frac{{q{ϕ_0}}}7ypllqw$
（2）0≤x≤A區(qū)間
根據(jù)題意，在x=A時(shí)，粒子動(dòng)能為0，
可知粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能和電勢(shì)能之和為：
則在x位置時(shí)有：${E_k}+（-qϕ）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}wydnkoy）$
${E_k}-q{ϕ_0}（1-\frac{x}iqov8nq）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}bh7c82l）$${E_k}=q{ϕ_0}\frac{（A-x）}zfqqvee$（0≤x≤A）    
-A≤x≤0區(qū)間
根據(jù)題意，在x=-A時(shí)，粒子動(dòng)能為0，可知粒子在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中動(dòng)能和電勢(shì)能之和為：
則在x位置時(shí)有：${E_k}+（-qϕ）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}xffk7lf）$
${E_k}-q{ϕ_0}（\frac{x}2sahuzg+1）=-q{ϕ_0}（1-\frac{A}ppzpu2t）$${E_k}=q{ϕ_0}\frac{（A+x）}1e0afvd$（-A≤x≤0）
或者：${E_k}=q{ϕ_0}\frac{（A-1x1）}icj2bjx$（-A≤x≤A）
（3）0-A為四分之一周期，粒子做勻變速直線運(yùn)動(dòng)
S=A，$a=\frac{F}{m}=\frac{{q{ϕ_0}}}{dm}$
$t=\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2mdA}{{q{ϕ_0}}}}$
$T=4t=4\sqrt{\frac{2mdA}{{q{ϕ_0}}}}$
答：（1）寫(xiě)出電勢(shì)隨x的變化規(guī)律關(guān)系式為$ϕ={ϕ}_{0}（1-\frac{1x1}u1i57yx）$，粒子所受電場(chǎng)力大小為$\frac{q{ϕ}_{0}}ozdxhm3$
（2）粒子動(dòng)能隨x的變化規(guī)律關(guān)系式${E}_{k}=q{ϕ}_{0}\frac{（A-1x1）}uyjgrru$
（3）粒子的運(yùn)動(dòng)周期$T=4\sqrt{\frac{2mdA}{q{ϕ}_{0}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題難度較大，要求學(xué)生能從題干中找出可用的信息，同時(shí)能從圖象中判斷出電場(chǎng)的性質(zhì)；并能靈活應(yīng)用功能關(guān)系結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)求解，故對(duì)學(xué)生的要求較高