Question

15．如圖所示，在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓錐擺，O為懸點(diǎn)，O到水平地面上的豎直高度為$\frac{3}{2}$a，已知繩長為a，繩與豎直方向夾角為θ=60°，某時(shí)刻繩被剪斷，小球?qū)⒙涞絇 點(diǎn)，求：
（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度v；
（2）P到O點(diǎn)在水平地面上投影點(diǎn)的距離．

Answer 1

分析 （1）在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓錐擺，由重力和繩子的拉力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律和向心力公式列式求解速度v．
（2）繩被剪斷，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和幾何關(guān)系列式，求解即可．

解答 解：（1）小球所受合力提供向心力，由牛頓第二定律得：
mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{asinθ}$
得：v=$\sqrt{gatanθsinθ}$=$\sqrt{\frac{3}{2}ga}$
（2）繩被剪斷，小球做平拋運(yùn)動(dòng)，水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向做自由落體運(yùn)動(dòng)，則有：
x=vt
$\frac{3}{2}a$-acosθ=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入數(shù)值解得：x=$\sqrt{3}$a
由幾何關(guān)系得，P到O點(diǎn)在水平地面上投影點(diǎn)的距離為：
S=$\sqrt{{x}^{2}+（asinθ）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a
答：（1）小球做圓周運(yùn)動(dòng)的速度v是$\sqrt{\frac{3}{2}ga}$；
（2）P到O點(diǎn)在水平地面上投影點(diǎn)的距離是$\frac{\sqrt{15}}{2}$a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓錐擺以及平拋運(yùn)動(dòng)的知識(shí)．對(duì)于圓錐擺，關(guān)鍵分析向心力來源，運(yùn)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律處理．