6.如圖所示,等重的兩小木塊由一根不可伸長的輕繩相連,放在傾角為α的斜面上.兩木塊與斜面的靜摩擦因數(shù)分別是μ1,μ2,已知μ1>μ2,tanα=$\sqrt{{μ}_{1}•{μ}_{2}}$,求繩子與斜面上的最大傾斜線之間的夾角θ應滿足什么限制,它們才能在斜面上保持靜止.

分析 系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時,兩木塊也分別處于平衡狀態(tài).對兩木塊進行受力分析,利用平衡條件解答.

解答 解:當兩物體連線與最大傾斜線垂直時,系統(tǒng)處于平衡時,2物體不可能平衡,當當兩物體連線與最大傾斜線平行時兩物體一定靜止,這是因為:μ1mgcosα+μ2mgcosα=(μ12)mgcosα,又有tanα=$\sqrt{{μ}_{1}•{μ}_{2}}$,所以${μ}_{1}mgcosα{+μ}_{2}mgcosα≥2\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}mgcosα$=2mgsinα
(1)在斜面所在平面內分析2物體,2物體所受重力沿斜面向下的重力的分力為mgsinα是定值,以O為圓心,以所受靜摩擦力為圓心作圖,遠的半徑必定小于OC,要保證2 物體靜止,她所受摩擦力不可能大于最大靜摩擦力,當達到最大靜摩擦力且與MN成角度θ0最大,此時sinθ0=$\frac{{μ}_{2}mgcosα}{mgsinα}$=${μ}_{2}cotα=\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$.在這種情況下,如果1物體所受的摩擦力小于其最大靜摩擦力,則線與最大傾斜線的最大夾角為θ0,如果1物體所受的 摩擦力大于其最大靜摩擦力則線與最大傾斜線的夾角小于θ0.此種情況下,1物體受力圖如下圖所示,線對1物體和對2物體的作用力大小相等,所以在做1物體所受的力時,可以在C下做與O對稱的圓,AC與圓相交于B,BC可表示線對1物體的力,物體1與物體2沿著斜面的分力相等,所以在下圖中將物體2 的受力圖作在圖1 的左邊,與物體2的受力圖共用一邊,則線的彈力為:
${T}_{0}\sqrt{{(mgsinα)}^{2}{-μ}_{1}mgcosα}$=mgcosα$\sqrt{{{μ}_{2}μ}_{1}{-μ}_{2}^{2}}$
物體1所受的摩擦力為:f10=$\sqrt{{T}_{0}^{2}{+(mgsinα)}^{2}+{2T}_{0}mgsinαco{s}_{θ0}}$
整理上式得:${f}_{10}^{2}{=(mgcosα)}^{2}({{4μ}_{1}μ}_{2}-{3μ}_{2}^{2})$
已知物體1所受的最大靜摩擦力為f1m1mgcosα
當f10≤f1m時,即μ1≥3μ2時,最大角$θ=arcsin\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$
當f10>f1m時,即μ1<3μ2時,最大夾角另行求解.
(2)當兩物體同時達到最大靜摩擦力時,(不可能出現(xiàn)1物體達到最大靜摩擦力而2物體沒有達到最大靜摩擦力的情況)這種情況與第一種情況相似,如下圖2 所示,在力三角形△ACO與△CBO中,可得,
${{(μ}_{2}mgcosα)}^{2}{=(mgsinα)}^{2}{+T}^{2}-$2mgsinαTcosθ1
${{(μ}_{1}mgcosα)}^{2}{=(mgsinα)}^{2}{+T}^{2}$+2mgsinαTcosθ1
兩式相加得,${T}^{2}=\frac{1}{2}{(μ}_{1}^{2}{+μ}_{2}^{2}{)(mgcosα)}^{2}$-(mgsinα)2,又有tan$α=\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}$
則T=$\frac{\sqrt{2}}{2}$mgcosα(μ12
兩式相減得,4mgsinαTcosθ=${{(μ}_{1}}^{2}{-μ}_{2}^{2}{)(mgcosα)}^{2}$,
將T帶入,結合tan$α=\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}$
所以,cosθ=$\frac{\sqrt{2}{(μ}_{1}{-μ}_{2})}{4\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}}$
綜上所述,當μ1≥3μ2時,最大夾角為θ=arcsin$\sqrt{\frac{{μ}_{2}}{{μ}_{1}}}$
當μ1<3μ2時,最大夾角為θ=arccos$\frac{\sqrt{2}{(μ}_{1}{-μ}_{2})}{4\sqrt{{{μ}_{1}μ}_{2}}}$

點評 本題的思維過程復雜,數(shù)學運算量大,屬于難題,建議一般學生不必追求能解,高考一般考不到.

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