Question

6．宇宙飛船飛臨一顆半徑為R的未知行星，在距行星表面也為R的圓軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T（如圖），宇宙飛船在A點(diǎn)沿圓周的切線方向發(fā)射一個(gè)探測(cè)器，使之沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，恰好在B點(diǎn)掠過行星表面后又能回到A點(diǎn)．已知引力常量為G．問：
（1）此未知行星的平均密度ρ為多少？
（2）探測(cè)器沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期T′為多少？在A、B兩點(diǎn)的速率之比v_A：v_B為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力提供向心力求出未知行星的質(zhì)量，由密度公式求未知行星的平均密度；
（2）根據(jù)開普勒第三定律求探測(cè)器沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)的周期T′，根據(jù)$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$求A、B兩點(diǎn)的線速度之比；

解答 解：（1）未知行星的質(zhì)量為M，根據(jù)萬有引力提供向心力有：
G$\frac{Mm}{（2R）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}$（2R）
解得：M=$\frac{32{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$
根據(jù)ρ=$\frac{M}{V}=\frac{\frac{32{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{24π}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）橢圓軌道的半長(zhǎng)軸R′=$\frac{R+2R}{2}=\frac{3}{2}$R
根據(jù)開普勒第三定律，$\frac{（2R）_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{R{′}_{\;}^{3}}{T{′}_{\;}^{2}}$
解得：T′=$\frac{3}{4}$T
根據(jù)開普勒第二定律：$\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}△t•{r}_{A}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{B}^{\;}△t•{r}_{B}^{\;}$
A、B兩點(diǎn)的速率之比
$\frac{{v}_{A}^{\;}}{{v}_{B}^{\;}}=\frac{{r}_{B}^{\;}}{{r}_{A}^{\;}}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$
答：（1）此未知行星的平均密度ρ為$\frac{24π}{G{T}_{\;}^{2}}$
（2）探測(cè)器沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)，周期T′為$\frac{3}{4}$T，在A、B兩點(diǎn)的速率之比v_A：v_B為$\frac{2}{1}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．