Question

如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，右端連在豎直墻面上，左端連著不帶電的絕緣小球B，開始時B球靜止在光滑絕緣水平面上．整個裝置處在場強大小為E、方向水平向右的勻強電場中．現(xiàn)把一質量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球s處自由釋放，A將與B發(fā)生正碰．碰撞中無機械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質量M=2m，B球被碰后作簡諧運動，其運動周期T=2π

M k

（A、B小球均可視為質點）．求：
（1）A球與B球第一次相碰前A的速度大��；
（2）兩球第一次碰后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，彈簧勁度系數(shù)k的可能取值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動能定理求解A球與B球第一次相碰前A的速度大�。�
（2）A與B碰撞中無機械能損失，根據(jù)動量守恒和動能守恒求出碰后瞬間A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）兩球碰撞后，B球作簡諧運動，A球先向左做減速運動又向右作加速運動，要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，分析得出兩球運動時間與B的周期關系，運用動量定理研究A的運動過程，求解彈簧勁度系數(shù)k的可能取值．

解答：解：（1）設A球與B球第一次碰撞前瞬間的速度為v₀，由動能定理得：
   qE?s=

1

2

mv2
解得：v0=

2qEs m

（2）由于碰撞過程極短，系統(tǒng)的動量守恒：
   mv₀=mv₁+Mv₂
碰撞過程中無機械能損失，則有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

聯(lián)立解得：v1=-

1

3

2qEs m

，負號表示方向向左，v2=

2

3

2qEs m

，方向向右．
（3）因|v₁|＜v₂，要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則只能是迎面相碰，所用的時間t滿足：t=(n+

1

2

)T（n=0，1，2，3…）
A球在電場中受電場力作用向左做減速運動至速度為0后又向右作加速運動：qEt=m（-v₁）-mv₁
由題知：T=2π

M k

解得：k=

9π2qE(2n+1)2

4s

（n=0，1，2，3…）
答：
（1）A球與B球第一次相碰前A的速度大小為

2qEs m

；
（2）兩球第一次碰后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂分別為v1=-

1

3

2qEs m

，負號表示方向向左，v2=

2

3

2qEs m

，方向向右．
（3）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，彈簧勁度系數(shù)k的可能取值為：k=

9π2qE(2n+1)2

4s

（n=0，1，2，3…）．

點評：本題是多過程問題，采用程序法按時間順序研究．無機械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，遵守動量和機械能兩大守恒．對于B的簡諧運動是抓住周期性，不能漏解．