Question

如圖所示，勁度系數(shù)為k的輕彈簧，右端連在豎直墻面上，左端連著不帶電的絕緣小球B，開(kāi)始時(shí)B球靜止在光滑絕緣水平面上．整個(gè)裝置處在場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中．現(xiàn)把一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球s處自由釋放，A將與B發(fā)生正碰．碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球的質(zhì)量M=2m，B球被碰后作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期T=2π

M k

（A、B小球均可視為質(zhì)點(diǎn)）．求：
（1）A球與B球第一次相碰前A的速度大��；
（2）兩球第一次碰后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，彈簧勁度系數(shù)k的可能取值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)動(dòng)能定理求解A球與B球第一次相碰前A的速度大��；
（2）A與B碰撞中無(wú)機(jī)械能損失，根據(jù)動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒求出碰后瞬間A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）兩球碰撞后，B球作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，A球先向左做減速運(yùn)動(dòng)又向右作加速運(yùn)動(dòng)，要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，分析得出兩球運(yùn)動(dòng)時(shí)間與B的周期關(guān)系，運(yùn)用動(dòng)量定理研究A的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，求解彈簧勁度系數(shù)k的可能取值．

解答：解：（1）設(shè)A球與B球第一次碰撞前瞬間的速度為v₀，由動(dòng)能定理得：
   qE?s=

1

2

mv2
解得：v0=

2qEs m

（2）由于碰撞過(guò)程極短，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒：
   mv₀=mv₁+Mv₂
碰撞過(guò)程中無(wú)機(jī)械能損失，則有：

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

聯(lián)立解得：v1=-

1

3

2qEs m

，負(fù)號(hào)表示方向向左，v2=

2

3

2qEs m

，方向向右．
（3）因|v₁|＜v₂，要使m與M第二次碰撞仍發(fā)生在原位置，則只能是迎面相碰，所用的時(shí)間t滿足：t=(n+

1

2

)T（n=0，1，2，3…）
A球在電場(chǎng)中受電場(chǎng)力作用向左做減速運(yùn)動(dòng)至速度為0后又向右作加速運(yùn)動(dòng)：qEt=m（-v₁）-mv₁
由題知：T=2π

M k

解得：k=

9π2qE(2n+1)2

4s

（n=0，1，2，3…）
答：
（1）A球與B球第一次相碰前A的速度大小為

2qEs m

；
（2）兩球第一次碰后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂分別為v1=-

1

3

2qEs m

，負(fù)號(hào)表示方向向左，v2=

2

3

2qEs m

，方向向右．
（3）要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置相碰，彈簧勁度系數(shù)k的可能取值為：k=

9π2qE(2n+1)2

4s

（n=0，1，2，3…）．

點(diǎn)評(píng)：本題是多過(guò)程問(wèn)題，采用程序法按時(shí)間順序研究．無(wú)機(jī)械能損失的碰撞稱為彈性碰撞，遵守動(dòng)量和機(jī)械能兩大守恒．對(duì)于B的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)是抓住周期性，不能漏解．