Question

14．一位勤于思考的同學(xué)為探月宇航員設(shè)計(jì)了如下實(shí)驗(yàn)：在距月球表面高h(yuǎn)處以初速度v₀水平拋出一個(gè)物體，然后測量該平拋物體的水平位移為x，通過查閱資料知道月球的半徑為R，引力常量為G，若物體只受月球引力的作用，請(qǐng)你求出：
（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）月球的質(zhì)量M；
（3）在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度υ₁．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和初速度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合豎直方向上的高度，運(yùn)用位移時(shí)間公式求出月球表面的重力加速度．
（2）根據(jù)萬有引力等于重力求出月球的質(zhì)量．
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力求出環(huán)繞月球表面做圓周運(yùn)動(dòng)的速率，即在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度；

解答 解：（1）根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，有
豎直方向：$h=\frac{1}{2}{g}_{月}^{\;}{t}_{\;}^{2}$①
水平方向：$x={v}_{0}^{\;}t$②
解得：${g}_{月}^{\;}=\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}_{\;}^{2}}$
（2）月球表面物體重力等于萬有引力
$mg=G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}$
解得：${M}_{月}^{\;}=\frac{{g}_{月}^{\;}{R}_{\;}^{2}}{G}$=$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{G{x}_{\;}^{2}}$
（3）根據(jù)萬有引力提供向心力，得$G\frac{{M}_{月}^{\;}m}{{R}_{\;}^{2}}=m{g}_{月}^{\;}=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$v=\sqrt{{g}_{月}^{\;}R}$=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{x}\sqrt{2hR}$
答：（1）月球表面的重力加速度${g}_{月}^{\;}$為$\frac{2h{v}_{0}^{2}}{{x}_{\;}^{2}}$；
（2）月球的質(zhì)量M為$\frac{2h{v}_{0}^{2}{R}_{\;}^{2}}{G{x}_{\;}^{2}}$；
（3）在月球表面發(fā)射衛(wèi)星的第一宇宙速度${v}_{1}^{\;}$為$\frac{{v}_{0}^{\;}}{x}\sqrt{2hR}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬有引力定律與平拋運(yùn)動(dòng)的綜合，掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論是解題的關(guān)鍵，1、萬有引力提供向心力，2、萬有引力等于重力．