Question

6．如圖所示，質(zhì)量是1kg的小球用長(zhǎng)為0.5m的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，O點(diǎn)距地面高度為1m，如果使小球繞OO′軸在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，若彈性繩最大承受拉力為12.5N，（g=10m/s²）求：
（1）小球在水平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈性繩與豎直方向的最大夾角；
（2）小球的角速度為多大時(shí)彈性繩將斷裂；
（3）斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)繩子的最大拉力，結(jié)合平行四邊形定則求出彈性繩與豎直方向的最大夾角．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，求出彈性繩斷裂時(shí)的角速度．
（3）根據(jù)小球的線速度和離地的高度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出水平位移，通過(guò)幾何關(guān)系求出斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離．

解答 解：（1）當(dāng)繩子達(dá)到最大拉力時(shí)，根據(jù)平行四邊形定則知：
$cosθ=\frac{mg}{F}=\frac{10}{12.5}=0.8$，
解得：θ=37°．
（2）根據(jù)牛頓第二定律得：mgtan37°=mLsin37°ω²
代入數(shù)據(jù)解得：ω=$\sqrt{\frac{g}{Lcos37°}}=\sqrt{\frac{10}{0.5×0.8}}rad/s=5rad/s$．
（3）斷裂時(shí)，小球的線速度為：v=Lsin37°ω=0.5×0.6×5m/s=1.5m/s，
根據(jù)$H-Lcos37°=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得：
t=$\sqrt{\frac{2（H-Lcos37°）}{g}}=\sqrt{\frac{2×（1-0.5×0.8）}{10}}$s=$\sqrt{0.12}s$，
則平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移為：
x=$vt=1.5\sqrt{0.12}m$，
所以斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為：
s=$\sqrt{{x}^{2}+{r}^{2}}=\sqrt{1．{5}^{2}×0.12+0．{3}^{2}}$m=0.6m．
答：（1）彈性繩與豎直方向的最大夾角為37°；
（2）小球的角速度為5rad/s時(shí)彈性繩將斷裂；
（3）斷裂后小球落地點(diǎn)與懸點(diǎn)的水平距離為0.6m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)的基本運(yùn)用，知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律以及圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源是解決本題的關(guān)鍵．