Question

10．如圖為某種魚餌自動投放器中的投餌管裝置示意圖，上半部BC是半徑為R的四分之一圓弧彎管，管口C處的切線沿水平方向，其下半部AB是一長為2R的豎直細管，AB管內有一原長為R、下端固定的輕質彈簧．投餌時，每次總將彈簧長度壓縮到0.5R后鎖定，在彈簧上端放置一粒魚餌，解除鎖定，彈簧可將魚餌彈射出去．設質量為m的魚餌到達管口C時，對管壁的作用力恰好為零．不計魚餌在運動過程中的機械能損失，且鎖定和解除鎖定時，均不改變彈簧的彈性勢能．已知重力加速度為g．求：
（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度v₁；
（2）質量為m的魚餌到達管口的過程中，彈簧的彈力做的功W_F；
（3）已知地面與水平相距1.5R，若彈射處的魚餌的質量為$\frac{2}{3}$m，則魚餌到達水面時的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力完全由重力提供，有牛頓第二定律列出向心力的方程，速度可求．
（2）不計魚餌在運動過程中的機械能損失，所以魚餌增加的機械能都是彈簧做功的結果，由功能關系知道彈簧具有的彈性勢能等于魚餌增加的機械能，而彈簧的彈力做的功等于彈簧具有的彈性勢能．
（3）魚餌從彈出到落到水平面上的過程中，根據(jù)動能定理求解．

解答 解：（1）質量為m的魚餌到達管口C時做圓周運動的向心力，完全由重力提供，
則$mg=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
（2）從彈簧釋放到最高點C的過程中，彈簧的彈性勢能全部轉化為魚餌的機械能，由系統(tǒng)的機械能守恒定律有
${E}_{P}=mg（1.5R+R）+\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$=3mgR
彈簧的彈力做的功W_F=E_P=3mgR
（3）魚餌從彈出到落到水平面上的過程中，根據(jù)動能定理得：
$\frac{1}{2}•\frac{2}{3}m{v}^{2}=\frac{2}{3}m（0.5+1.5）gR+{W}_{F}$
解得：v=$\sqrt{13gR}$
答：（1）質量為m的魚餌到達管口C時的速度v₁為$\sqrt{gR}$；
（2）質量為m的魚餌到達管口的過程中，彈簧的彈力做的功W_F為3mgR；
（3）已知地面與水平相距1.5R，若彈射處的魚餌的質量為$\frac{2}{3}$m，則魚餌到達水面時的速度大小為$\sqrt{13gR}$．

點評 本題考查了圓周運動最高點的動力學方程、動能定理以及機械能守恒定律的應用，知道彈簧的彈力做的功等于彈簧具有的彈性勢能，難度適中．