Question

12．一個質(zhì)量為m=50kg的均勻圓柱體，放在臺階的旁邊，臺階的高度h是柱體半徑的一半，如圖所示（圖示為其橫截面），柱體與臺階的接觸處（圖中P點所示）是粗糙的．現(xiàn)要在圓柱體的最上方A處施加最小的拉力，使柱體剛能開始以P為軸向臺階上滾，求所施加的力F₁的大小及P點對圓柱體的作用力F₂的大小（g=10N/kg）．

Answer 1

分析 （1）先確定支點，要使柱體剛能開始以P為軸向臺階上滾，在最上方A處施加最小的拉力對應A處的最大力臂；畫出對應的最大力臂，即可求出所施加的力F₁的大小；
（2）以圓柱體為研究的對象進行受力分析，即可求出點對圓柱體的作用力F₂的大�。�

解答 解：（1）要使柱體剛能開始以P為軸向臺階上滾，在最上方A處施加最小的拉力對應A處的最大力臂；畫出對應的最大力臂如圖1，則：
$cosθ=\frac{R-h}{R}=\frac{R-0.5R}{R}=0.5$
所以：θ=60°
$\overline{PD}=R•sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$
$\overline{AP}=\sqrt{{\overline{AD}}^{2}+{\overline{PD}}^{2}}$=$\sqrt{（R+.05R）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}R）^{2}}=\sqrt{3}R$
以圓柱體為研究的對象，相對于支點P，重力的力矩是逆時針方向，力F的力矩為順時針方向，二者恰好平衡時：$G•\overline{PD}={F}_{1}•\overline{AP}$
所以：F₁=$\frac{\overline{PD}}{\overline{AP}}•mg=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}R}{\sqrt{3}R}•mg=\frac{1}{2}mg=\frac{1}{2}×50×10=250$N
（2）以圓柱體為研究的對象，圓柱體受到重力、P點的支持力和拉力的作用，三個力的作用線必定交于一點，如圖（右），由幾何關系可得：
$\frac{{F}_{2}}{\overline{AD}}=\frac{mg}{\overline{AP}}$
所以：${F}_{2}=\frac{\overline{AD}}{\overline{AP}}•mg=\frac{R+0.5R}{\sqrt{3}R}•mg=\frac{\sqrt{3}}{2}×50×10=250\sqrt{3}$N
答：使柱體剛能開始以P為軸向臺階上滾，所施加的力F₁的大小是250N，P點對圓柱體的作用力F₂的大小是$250\sqrt{3}$N．

點評 本題是力矩平衡問題與共點力的平衡的組合墊題目，對與力矩平衡類的題目，分析受力情況，正確找出力臂是解題的關鍵．