Question

19．如圖所示，輕質(zhì)支架ABO可繞水平軸O在豎直平面內(nèi)無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，支架A端擱在水平地面上，BO與地面垂直，AB長(zhǎng)度為L(zhǎng)，與水平地面夾角為θ=37°．可看作質(zhì)點(diǎn)的帶正電小物塊P，質(zhì)量為m，帶電量為q，P與支架間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，在運(yùn)動(dòng)過程中其電量保持不變．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）給小物塊P一個(gè)初速度，使其從A端開始沿AB向上滑，求P滑到距A端多遠(yuǎn)時(shí)支架即將發(fā)生翻轉(zhuǎn)．
（2）把另一可看作質(zhì)點(diǎn)的帶正電小物塊W固定在支架的A端，小物塊P能靜止在AB的中點(diǎn)處，已知物塊P與AB間的最大靜摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等，求小物塊W可能的帶電量Q．
（3）改變小物塊W的帶電量，將物塊P從B點(diǎn)由靜止釋放，P沿斜面剛好能到達(dá)AB的中點(diǎn)．求物塊P從斜面中點(diǎn)應(yīng)以多大的初速度v₀上滑才能剛好到達(dá)B點(diǎn)（支架不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)）．

Answer 1

分析 （1）支架是否轉(zhuǎn)動(dòng)要看物塊對(duì)支架的壓力對(duì)O點(diǎn)的力矩，當(dāng)過距A點(diǎn)的C點(diǎn)時(shí)，支架會(huì)轉(zhuǎn)動(dòng)．根據(jù)力矩平衡條件即可求出．
（2）小物塊P能靜止在AB的中點(diǎn)處，根據(jù)共點(diǎn)力的平衡，結(jié)合庫侖定律即可求出W可能的帶電量Q．
（3）物塊P從B點(diǎn)由靜止釋放，P沿斜面剛好能到達(dá)AB的中點(diǎn)的過程中、重力、電場(chǎng)力和摩擦力做功，根據(jù)動(dòng)能定律即可求出電場(chǎng)力做的功，然后物塊P從斜面中點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)的過程中，還是重力、電場(chǎng)力摩擦力做功，由動(dòng)能定理即可求出初速度．

解答 解：（1）設(shè)當(dāng)物塊P滑到距A端為x時(shí)支架即將發(fā)生翻轉(zhuǎn)．根據(jù)力矩平衡，有
mgcos37°×（Lcos²37°-x）=μmgcos37°×Lcos37°sin37°
解得：x=0.4L
（2）設(shè)小物塊W至少應(yīng)帶電量Q_min，此時(shí)物塊P受到最大靜摩擦力f_m作用且方向由A指向B．根據(jù)物塊P的受力平衡，有
mgsin37°=F_min+f_m=$k\frac{{Q}_{min}}{（\frac{L}{2}）^{2}}q+μmgcos37°$
解得：${Q}_{min}=\frac{mg{L}^{2}}{20kq}$
設(shè)小物塊W至多應(yīng)帶電量Q_max，此時(shí)物塊P受到最大靜摩擦力f_m作用且方向由B指向A．根據(jù)物塊P的受力平衡，有
mgsin37°=F_max-f_m=$k\frac{{Q}_{max}}{{（\frac{L}{2}）}^{2}}q-μmgcos37°$
解得：${Q}_{max}=\frac{mg{L}^{2}}{4kq}$
所以小物塊W可能的帶電量范圍是$\frac{mg{L}^{2}}{20kq}≤Q≤\frac{mg{L}^{2}}{4kq}$．
（3）設(shè)物塊P從B點(diǎn)沿斜面到達(dá)AB的中點(diǎn)過程中克服電場(chǎng)力做功W，由動(dòng)能定理
$mg×\frac{L}{2}•sin37°-μmgcos37°×\frac{L}{2}-W=0-0$
根據(jù)對(duì)稱性，物塊P從斜面中點(diǎn)向上運(yùn)動(dòng)到達(dá)B點(diǎn)的過程電場(chǎng)力對(duì)其做功也為W，由動(dòng)能定理
$-mg×\frac{L}{2}•sin37°-μmgcos37°×\frac{L}{2}+W=0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：${v}_{0}=\sqrt{2μgLcos37°}=\sqrt{\frac{4}{5}gL}=0.4\sqrt{5gL}$
答：（1）給小物塊P一個(gè)初速度，使其從A端開始沿AB向上滑，P滑到距A端0.4L時(shí)支架即將發(fā)生翻轉(zhuǎn)．
（2）小物塊W可能的帶電量是$\frac{mgL}{20kq}≤Q≤\frac{mgL}{4kq}$．
（3）物塊P從斜面中點(diǎn)應(yīng)以$0.4\sqrt{5gL}$的初速度v₀上滑才能剛好到達(dá)B點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理的應(yīng)用、庫侖定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式以及力矩的平衡，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，知道在動(dòng)力學(xué)問題中，動(dòng)能定理的應(yīng)用比使用牛頓第二定律要簡(jiǎn)單得多．