Question

2．如圖所示，在光滑的水平面上有一質量為2m的足夠長的長木板B，其上表面離長木板B的右端距離為l=0.7m處放一質量為m的物塊A（可視為質點），長木板離傳送帶左側的距離為l₁=3.2m，且傳送帶的上端與長木板B的上表面相平齊．現給長木板B一個水平向右，大小為F=$\frac{3}{2}$μmg的推力，當長木板B與傳送帶左側相碰的瞬間，長木板B立即停止且固定不動，同時撤去力F，物塊A以某一速度滑上以順時針勻速轉動，速度為v（未知）、長度為l₂=0.5m的傳送帶后滑上與水平面夾角為θ=37°的足夠長的斜面，且物塊A在斜面上上滑過程的位移與時間關系為s=kt-5t²（m）且k＞0，已知物塊A與長木板B、傳送帶及斜面之間的動摩擦因數均為μ，傳送帶轉動輪大小忽略不計，滑塊A通過軌道銜接處時無能量損失，重力加速度取g=10m/s²．求：（已知sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）μ的值．
（2）滑塊A上傳送帶時的速度大�。�
（3）物塊A在斜面上上升的最大高度h與速度v的關系．

Answer 1

分析 本題是一道綜合題，解題時遵循按物理過程的順序一步一步計算著往下進行：
（1）由于除地面以外各接觸面的動摩擦因數均相等，題目中僅告訴了物塊A在斜面上上滑過程的位移與時間關系為s=kt-5t²（m），且還有一個求知數k，即不知道上滑的初速度，但知道加速度a=10m/s²，物體在斜面上做勻減速運動，根據牛頓第二定律可以求出μ．
（2）考慮到在推力作用下，A、B一起做勻加速運動，根據牛頓第二定律和運動學規(guī)律可以求出與傳送帶碰前的速度，再經過l=0.7m減速，滑上傳送帶，在傳送帶的滑動摩擦力作用下加速，達到速度k，通過列方程可以求出滑上傳送帶的速度．
（3）在完成前兩問的情況下，上升的高度h=s sin37°，顯然末速度為零時，s最大，h也達到最大．

解答 解：（1）由題意，物塊A在斜面上上滑過程的位移與時間關系為s=kt-5t²（m），從而知道物體在斜面上的加速度大小為：
${a}_{4}=10m/{s}^{2}$      ①
根據牛頓第二定律：
mgsin37°+μmgcos37°=ma₄      ②
聯立兩式得μ=0.5
（2）當用力F=μmg推B時，A、B整體向右加速，根據牛頓第二定律：
F=（2m+m）a₁          ③
代入得：${a}_{1}=\frac{F}{3m}=\frac{μmg}{3m}=\frac{μmg}{3m}=\frac{5}{3}m/{s}^{2}$ 
由運動學公式得到與傳送帶碰前的速度：
${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}l}=\sqrt{2×\frac{5}{3}×3.2}m/s=\frac{4\sqrt{6}}{3}m/s=3.26m/s$
之后物體在長木板B上做勻減速運動，到達傳送帶的速度 由運動學規(guī)律有：
${{v}_{2}}^{2}-{{v}_{1}}^{2}=2{a}_{2}l$     ④
其中   ${a}_{2}=μg=5m/{s}^{2}$
代入數據得到：${v}_{2}=\frac{\sqrt{11}}{3}m/s$
（3）不管是v₂＞v，還是v₂＜v，物體的速度通過減速或加速最終與傳送帶相同，速度為v．即k=v
物體在斜面上做勻減速，當速度減到零時，上升的高度最大．由運動學公式知：
${s}_{max}=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}=\frac{{v}^{2}}{2×10}$
最大高度為：
${h}_{max}={s}_{max}sin37°=\frac{3{v}^{2}}{100}$
答：（1）μ的值為0.5  
（2）滑塊A上傳送帶時的速度大小3.26m/s
（3）物塊A在斜面上上升的最大高度h與速度v的關系為${h}_{max}={s}_{max}sin37°=\frac{3{v}^{2}}{100}$

點評 本題涉及的物理過程較多，必須一步一步計算，至于物體在傳送帶上的運動，可能加速也可能減速，但最終與傳送帶相同，這樣第三問的計算變得簡單一些了．A物體先跟B一起加速，碰后在B上減速，滑上傳送帶后過程未知，但末速度為v．也是在斜面上勻減速運動的初速度．每一過程都涉及牛頓定律與運動學規(guī)律的綜合，不可疏忽大意．