如圖所示，光滑水平面上有一質(zhì)量為M、長(zhǎng)為L(zhǎng)的長(zhǎng)木板，其上有一質(zhì)量為m的物塊，它與長(zhǎng)木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，開始時(shí)長(zhǎng)木板與小物塊均靠在與水平面垂直的左邊固定擋板處以共同的速度v向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)長(zhǎng)木板與右邊固定豎直擋板碰撞后立即以大小相同的速率反向運(yùn)動(dòng)，且左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)．
（1）若m＜M，試求要使物塊不從長(zhǎng)木板上落下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度．
（2）若物塊不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，且M=2kg，m=1kg，v=10m/s，試計(jì)算長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能大小及第n次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能表達(dá)式．
【答案】分析：（1）由于小物塊與長(zhǎng)木板存在摩擦力，系統(tǒng)的機(jī)械能不斷減少，所以小物塊第一次與擋板碰撞后兩者相對(duì)速度最大，第1次小物塊若不能從長(zhǎng)木板上掉下，往后每次相對(duì)滑動(dòng)的距離會(huì)越來(lái)越小，更不可能掉下．第一次碰撞后，物塊恰好不從木板上掉下時(shí)，兩者速度相同，而且物塊恰好滑到木板的另一端，根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出第一次碰撞后兩者的共同速度，由能量守恒定律求出長(zhǎng)木板的長(zhǎng)度L最小值．
（2）根據(jù)動(dòng)量守恒定律求出1、2、3次碰撞后物塊與木板的共同速度，尋找規(guī)律，再求解整個(gè)系統(tǒng)在第n次碰撞前損失的所有機(jī)械能．
解答：解：（1）長(zhǎng)木板與右邊擋板第一次碰撞后，物塊在長(zhǎng)木板上以速度v作相對(duì)運(yùn)動(dòng)，因左右擋板之間的距離足夠長(zhǎng)，當(dāng)木塊與長(zhǎng)木板以共同速度v1向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊在長(zhǎng)木板上移動(dòng)的距離最遠(yuǎn)（設(shè)為L(zhǎng)），此時(shí)物塊在長(zhǎng)木板上不掉下，則在以后的運(yùn)動(dòng)中物塊也不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下．因?yàn)槊看闻鲎埠笪飰K相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的加速度相同，物塊相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的末速度也相同且為0，而第一次碰撞后物塊相對(duì)長(zhǎng)木板運(yùn)動(dòng)的初速度最大，所以第一次碰撞后物塊相對(duì)長(zhǎng)木板的位移也最大．
由動(dòng)量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v=（M+m）v1①
（M+m）v2-（M+m）v12=μmgL②
由①②兩式可得：L=2Mv2
即要使物塊不從長(zhǎng)木板上掉下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度應(yīng)為：L=2Mv2
（2）長(zhǎng)木板與擋板第二次碰撞前系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E1，則由能量守恒可得：
△E1=（M+m）v2-（M+m）v12③
由①③式可得：△E1=2Mmv2④
長(zhǎng)木板與擋板第二次碰撞后到物塊與長(zhǎng)木板第二次以共同速度v2向右運(yùn)動(dòng)，直到長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前，系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E2，由動(dòng)量守恒和能量守恒可得：
（M-m）v1=（M+m）v2⑤
△E2=（M+m）v12-（M+m）v22⑥
由⑤⑥二式可得：△E2=2Mmv12=⑦
故長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：
由⑥⑦二式可得：△E=△E1+△E2=⑧
將數(shù)據(jù)代入式可得：△E=148.1J⑨
由④⑦二式可得：長(zhǎng)木板與板第（n-1）次碰撞后到長(zhǎng)木板與擋板第n次碰撞前，系統(tǒng)所損失的機(jī)械能為△E（n-1），由等比數(shù)列公式可得：
則：△E（n-1）=⑩
所以長(zhǎng)木板與擋板第n次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能為：
△E總==
答：（1）若m＜M，要使物塊不從長(zhǎng)木板上落下，長(zhǎng)木板的最短長(zhǎng)度是2Mv2
（2）若物塊不會(huì)從長(zhǎng)木板上掉下，且M=2kg，m=1kg，v=10m/s，長(zhǎng)木板與擋板第3次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能大小是148.1J
第n次碰撞前整個(gè)系統(tǒng)損失的機(jī)械能表達(dá)式是．
點(diǎn)評(píng)：本題采用數(shù)學(xué)歸納法研究多次碰撞過(guò)程遵守的規(guī)律，考查分析和處理復(fù)雜運(yùn)動(dòng)過(guò)程的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)相接，導(dǎo)軌半徑為R．一個(gè)質(zhì)量為m的物體將彈簧壓縮至A點(diǎn)后由靜止釋放，在彈力作用下物體獲得某一向右速度后脫離彈簧，脫離彈簧后當(dāng)它經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入導(dǎo)軌瞬間對(duì)導(dǎo)軌的壓力為其重力的7倍，之后向上運(yùn)動(dòng)完成半個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)恰好到達(dá)C點(diǎn)．試求：
（1）彈簧開始時(shí)的彈性勢(shì)能；
（2）物體從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)克服阻力做的功；
（3）物體離開C點(diǎn)后落回水平面時(shí)的速度大小和方向．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

如圖所示，光滑水平面與一半徑為R處在豎平面內(nèi)的光滑圓軌道相切，質(zhì)量為m的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）以初速度v0向右運(yùn)動(dòng)進(jìn)入圓軌道，在圖中虛線位置脫離軌道，重力加速度為g，下述說(shuō)法正確的是（　　）

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

如圖所示，光滑水平面MN左端擋板處有一彈射裝置P，右端N與處于同一高度的水平傳送帶之間的距離可忽略，水平部分NQ的長(zhǎng)度L=8m，皮帶輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)帶動(dòng)傳送帶以v=2m/s的速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)．MN上放置兩個(gè)質(zhì)量都為m=1.0kg的小物塊A、B，它們與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.4．開始時(shí)，A、B靜止，A、B間壓縮一輕質(zhì)彈簧，其彈性勢(shì)能EP=16J．現(xiàn)解除鎖定，彈開A、B，并迅速移走彈簧．
（1）求物塊B被彈開時(shí)速度的大��；
（2）A與P相碰后靜止，當(dāng)物塊B返回水平面MN后，A被P彈出，A、B相碰后粘在一起向右滑動(dòng)，要使A、B連接體剛好從Q端滑出，求P對(duì)A做的功．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

（2013?如東縣模擬）如圖所示，光滑水平面AB與豎直面內(nèi)粗糙的半圓形導(dǎo)軌在B點(diǎn)銜接，BC為導(dǎo)軌的直徑，與水平面垂直，導(dǎo)軌半徑為R，一個(gè)質(zhì)量為m的小球?qū)椈蓧嚎s至A處．小球從A處由靜止釋放被彈開后，以速度v經(jīng)過(guò)B點(diǎn)進(jìn)入半圓形軌道，之后向上運(yùn)動(dòng)恰能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，求：
（1）釋放小球前彈簧的彈性勢(shì)能；
（2）小球到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度和落到水平面時(shí)離B點(diǎn)的距離；
（3）小球在由B到C過(guò)程中克服阻力做的功．

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科目：高中物理 來(lái)源： 題型：

如圖所示，光滑水平面內(nèi)，一根細(xì)繩一端固定，另一端系一小球，現(xiàn)讓小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則（　�。�

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