Question

9．如圖甲所示的陀螺可在圓軌道外側旋轉而不脫落，好像軌道對它施加了魔法一樣，被稱為“魔力陀螺”．它可等效為如圖乙所示的模型：豎直固定的磁性圓軌道半徑為R，質量為m的質點在軌道外側做完整的圓周運動，A、B兩點分別為軌道上的最高與最低點．質點受軌道的磁性引力始終指向圓心O且大小恒為F，不計摩擦和空氣阻力，重力加速度為g．
（1）判斷質點運動過程中機械能是否守恒，并說明理由；
（2）若質點在A點的速度為$\sqrt{gR}$，求質點在該點對軌道的彈力；
（3）若磁性引力大小F可變，質點仍做完整圓周運動，求$\frac{F}{mg}$得最小值．

Answer 1

分析 （1）對質點的受力進行分析，根據做功情況，判定是否滿足機械能守恒；
（2）在A點，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌道對質點的彈力，再由牛頓第三定律得到質點對軌道的彈力．
（3）若磁性引力大小F可變，質點仍做完整圓周運動，質點在B點不脫離軌道即可，當v_A=0，到達B點的速度最小，機械能守恒定律與牛頓第二定律求解．

解答 解：（1）質點運動過程中機械能守恒，因為只有重力做功，所以質點的機械能守恒．
（2）設軌道對質點有向上的大小為F_N的彈力．根據牛頓第二定律得：
F+mg-F_N=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入數(shù)據解得：F_N=F
由牛頓第三定律知：質點對軌道的彈力大小為F，方向豎直向下．
（3）質點在B點不脫離軌道即可，當v_A=0，到達B點的速度最小，機械能守恒定律得：
mg•2R=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
在B點，有：F_B-mg-F_N=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
所以有：F_B=5mg+F_N
當F_N=0時，磁性引力最小，故得：$（\frac{F}{mg}）_{min}$=5
答：（1）質點運動過程中機械能是守恒的，因為只有重力做功；
（2）若質點在A點的速度為$\sqrt{gR}$，質點對軌道的彈力大小為F，方向豎直向下；
（3）若磁性引力大小F可變，質點仍做完整圓周運動，$\frac{F}{mg}$得最小值是5．

點評 該題屬于結合機械能守恒定律考查豎直平面內的圓周運動的情況，在解答的過程中正確分析得出小球經過最高點和最低點的條件是解答的關鍵，正確寫出向心力的表達式是解答的基礎．