Question

如圖所示，一輕繩吊著粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，上端套著一個細環(huán)．棒和環(huán)的質(zhì)量均為m，相互間最大靜摩擦力等于滑動摩擦力kmg（k＞1）．斷開輕繩，棒和環(huán)自由下落．假設棒足夠長，與地面發(fā)生碰撞時，觸地時間極短，無動能損失．棒在整個運動過程中始終保持豎直，空氣阻力不計．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環(huán)和棒的加速度．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s．
（3）與地面第二次碰撞前要使環(huán)不脫離棒，棒最少為多長？
（4）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，要使環(huán)不脫離棒，棒最少為多長？

Answer 1

分析：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環(huán)由于慣性繼續(xù)向下運動，受到向上的滑動摩擦力，大小為kmg，棒向上運動，受到向下的滑動摩擦力，大小為kmg，故可以根據(jù)牛頓第二定律分別求出環(huán)和棒的加速度．
（2）棒運動的總路程為原來下降的高度H，加上第一次上升高度的兩倍，對棒受力分析可以求得棒的加速度的大小，在由運動學公式可以求得上升的高度．
（3）彈起后，環(huán)的運動由兩個過程構(gòu)成，一個是向下的勻減速，另一個是向上的勻加速直到與棒的速度相等，根據(jù)運動學公式求出兩者相對滑動距離，即等于棒最少長度．
（4）據(jù)能量守恒列式，求出棒最少為長度．

解答：解：（1）第一次碰地后，環(huán)和棒的加速度大小分別是
a_環(huán)=

kmg-mg

m

=（k-1）g，豎直向上．
a_棒=

kmg+mg

m

=（k+1）g．豎直向下．
（2）落地及反彈的瞬時速度大小v₁=

2gH

，a_棒=（k+1）g，豎直向下，
 勻減速上升高度s₁=

v2

2a棒

，
而s=H+2s₁．
解得s=

k+3

k+1

H
（3）設經(jīng)過時間t₁達到共速v₁′，方向向下．以向下為正方向，
  v₁′=v₁-a_環(huán)t₁=-v₁+a_棒t₁，
解得t₁=

v1

kg

，v₁′=

v1

k

，
該過程棒上升的高度h1=

v1-v1′

2

t1=

k-1

k2

H
環(huán)下降的高度h₂=

v1+v1′

2

t1=

k+1

k2

H，相對滑動距離x₁=h₁+h₂=

2H

k

．
故棒最少長度為

2H

k

（4）設從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，要使環(huán)不脫離棒，棒最少為l．根據(jù)能量守恒 mgH+mg（H+l）=kmgl
  解得l=

2H

k-1

答：（1）棒第一次與地面碰撞彈起上升過程中，環(huán)和棒的加速度分別為（k-1）g，豎直向上和（k+1）g．豎直向下．
（2）從斷開輕繩到棒與地面第二次碰撞的瞬間，棒運動的路程s為

k+3

k+1

H：
（3）與地面第二次碰撞前要使環(huán)不脫離棒，棒最少為

2H

k

．
（4）從斷開輕繩到棒和環(huán)都靜止，要使環(huán)不脫離棒，棒最少為

2H

k-1

．

點評：本題綜合性較強，涉及多過程運動分析，難點在于分析棒和環(huán)的相對運動，進而得出位移．