Question

12．如圖所示，在空間中有一直角坐標(biāo)系xOy，其第一象限內(nèi)充滿(mǎn)兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域I和Ⅱ，直線OP是它們的邊界．區(qū)域I中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向垂直紙面向外；區(qū)域Ⅱ中的磁感應(yīng)強(qiáng)度為2B，方向垂直紙面向里．邊界上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（4L，3L）．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從P點(diǎn)平行于y軸負(fù)方向射入?yún)^(qū)域I，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后粒子恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．忽略粒子重力，已知sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間．
（2）該粒子運(yùn)動(dòng)速度的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，考慮邊界效應(yīng)，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)與離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界的夾角相等，故必定從Ⅱ區(qū)離開(kāi)O點(diǎn)；
考慮到t=$\frac{θ}{2π}T$，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)并離開(kāi)O點(diǎn)的情況是運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短的；
（2）粒子的速度大小滿(mǎn)足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，這樣粒子經(jīng)過(guò)n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過(guò)O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移S=$\frac{OP}{n}$（n=1，2，3，…），根據(jù)S與兩個(gè)半徑的關(guān)系，求出半徑，即可求解速度的通項(xiàng)．

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)中受到洛倫茲力而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，對(duì)于直線邊界，考慮軌跡圓的對(duì)稱(chēng)性，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)與離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與邊界的夾角相等，故粒子不可能從Ⅰ區(qū)到達(dá)O點(diǎn)，故一定是從Ⅱ區(qū)到達(dá)O點(diǎn)；
畫(huà)出可能的軌跡，如圖所示：

tanα=$\frac{3L}{4L}$=0.75
得α=37°，α+β=90°
故該粒子一定沿y軸負(fù)方向從O點(diǎn)射出；
設(shè)粒子的入射速度為v，用R₁，R₂，T₁，T₂分別表示粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑和周期，則：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
qv（2B）=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
周期分別為：
T₁=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$
T₂=$\frac{2π{R}_{2}}{v}$=$\frac{πm}{qB}$
粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中做順時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中做逆時(shí)針的圓周運(yùn)動(dòng)，然后從O點(diǎn)射出，這樣粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)所用的時(shí)間最短．
粒子在磁場(chǎng)I區(qū)和II區(qū)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間分別為：
t₁=$\frac{2β}{2π}$•T₁
t₂=$\frac{2β}{2π}{T}_{2}$
粒子從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的時(shí)間至少為：
t=t₁+t₂
由以上各式解得：
t=$\frac{53πm}{60qB}$
（2）粒子的速度大小滿(mǎn)足一定條件時(shí)，粒子先在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)，后在磁場(chǎng)II區(qū)中運(yùn)動(dòng)，然后又重復(fù)前面的運(yùn)動(dòng)，直到經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O．這樣粒子經(jīng)過(guò)n個(gè)周期性的運(yùn)動(dòng)到過(guò)O點(diǎn)，每個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況相同，粒子在一個(gè)周期內(nèi)的位移為S=$\frac{OP}{n}$=$\frac{5L}{n}$（n=1、2，3，…）
粒子每次在磁場(chǎng)I區(qū)中運(yùn)動(dòng)的位移為：
S₁=$\frac{{R}_{1}}{{{R}_{1}+R}_{2}}$S=$\frac{2}{3}S$
由圖中幾何關(guān)系可知：
$\frac{\frac{{S}_{1}}{2}}{{R}_{1}}$=cosα=0.8
而R₁=$\frac{mv}{qB}$
由以上各式解得粒子的速度大小為：
v=$\frac{25qBL}{12nm}$（n=1、2，3，…）
答：（1）該粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間是$\frac{53πm}{60qB}$．（2）該粒子運(yùn)動(dòng)速度的可能值為：v=$\frac{25qBL}{12nm}$（n=1、2，3，…）．

點(diǎn)評(píng) 本題在復(fù)合場(chǎng)中做周期性運(yùn)動(dòng)的類(lèi)型，關(guān)鍵要運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析粒子的規(guī)律，得到粒子在一個(gè)周期內(nèi)位移的通項(xiàng)，綜合性較強(qiáng)，難度較大．