Question

18．如圖甲所示的坐標(biāo)系xOy中，第I象限內(nèi)充滿垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場；第Ⅱ象限內(nèi)有水平正對金屬板M、N，M板位于x軸上其右端與O點(diǎn)重合，板間距離為l、極板長度為2l．兩板接在交變電源上，電源電壓隨時間變化的規(guī)律如圖乙．M板左端貼近極板處有一粒子源持續(xù)沿水平方向發(fā)射質(zhì)量為m、電荷量為q、速度為v₀的帶負(fù)電粒子．已知t=0時刻進(jìn)入板間的粒子恰好貼近N板從右端射出，并經(jīng)過P（2l，0）點(diǎn)．不考慮粒子重力和粒子間的相互作用，忽略金屬板正對部分之外的電場．求：

（1）兩板間的電壓U₀；
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B；
（3）t=$\frac{l}{{4{v_0}}}$時刻進(jìn)入板間的粒子，通過磁場后與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）=0時刻發(fā)出的粒子在板間運(yùn)動時，沿x軸方向勻速運(yùn)動，沿y軸方向先做勻加速運(yùn)動，后做勻減速運(yùn)動，兩個過程的加速度大小相等，兩個方向的運(yùn)動時間相等．根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)位移公式列出y方向的位移表達(dá)式，即可求解．
（2）粒子進(jìn)入磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力提供向心力，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求B．
（3）t=$\frac{l}{{4{v_0}}}$時時刻進(jìn)入板間的粒子，在△t₁=$\frac{l}{{v}_{0}}$-$\frac{l}{4{v}_{0}}$=$\frac{3l}{4{v}_{0}}$時間內(nèi)沿y方向加速，在接下來的△t₂=$\frac{3l}{4{v}_{0}}$時間內(nèi)沿-y方向減速，且速度減小為0，然后在△t₃=$\frac{l}{4{v}_{0}}$時間內(nèi)，沿-y方向加速，接著在隨后的△t₄=$\frac{l}{4{v}_{0}}$內(nèi)沿-y方向減速為0，恰好到達(dá)y軸并以速度v₀垂直于y軸離開電場．由運(yùn)動過程的對稱性和幾何關(guān)系求解．

解答 解：（1）t=0時刻發(fā)出的粒子在板間運(yùn)動時，沿x軸方向勻速運(yùn)動，經(jīng)歷時間為：
t=$\frac{2l}{{v}_{0}}$…①
沿y軸方向先做勻加速運(yùn)動，后做勻減速運(yùn)動，兩個過程的加速度大小相等，且為：a=$\frac{q{U}_{0}}{ml}$…②
到達(dá)N板時沿y方向的分速度為：
v_y=a$\frac{l}{{v}_{0}}$-a$\frac{l}{{v}_{0}}$=0…③
根據(jù)運(yùn)動過程的對稱性可知前后兩過程的位移相等，則有：
l=2×$\frac{1}{2}a（\frac{l}{{v}_{0}}）^{2}$…④
整理得：U₀=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$…⑤
（2）粒子在磁場中運(yùn)動時有：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$…⑥
由幾何關(guān)系知：（2l）²+（R-l）²=R²…⑦
解得：B=$\frac{2m{v}_{0}}{5ql}$…⑧
（3）t=$\frac{l}{{4{v_0}}}$時時刻進(jìn)入板間的粒子，在△t₁=$\frac{l}{{v}_{0}}$-$\frac{l}{4{v}_{0}}$=$\frac{3l}{4{v}_{0}}$時間內(nèi)沿y方向加速，在接下來的△t₂=$\frac{3l}{4{v}_{0}}$時間內(nèi)沿-y方向減速，且速度減小為0，然后在△t₃=$\frac{l}{4{v}_{0}}$時間內(nèi)，沿-y方向加速，接著在隨后的△t₄=$\frac{l}{4{v}_{0}}$內(nèi)沿-y方向減速為0，恰好到達(dá)y軸并以速度v₀垂直于y軸離開電場，其縱坐標(biāo) y=2×$\frac{1}{2}a△{t}_{1}^{2}$=2×$\frac{1}{2}a△{t}_{3}^{2}$…⑨
解得 y=$\frac{l}{2}$…（10）
該粒子在磁場中運(yùn)動半徑也為R，設(shè)它通過x軸時的橫坐標(biāo)為x．由幾何關(guān)系知
（R-$\frac{l}{2}$）²+x²=R² （11）
解得：x=$\frac{3}{2}$l （12）
答：（1）兩板間的電壓U₀為$\frac{m{v}_{0}^{2}}{q}$．
（2）勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為$\frac{2m{v}_{0}}{5ql}$；
（3）t=$\frac{l}{{4{v_0}}}$時刻進(jìn)入板間的粒子，通過磁場后與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{3}{2}$l．

點(diǎn)評 帶電粒子在復(fù)合場中運(yùn)動，關(guān)鍵要正確分析粒子的運(yùn)動情況，運(yùn)用動力學(xué)方法研究．對于勻變速直線運(yùn)動，由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合解答．對于磁場中勻速圓周運(yùn)動，畫出軌跡半徑，結(jié)合幾何知識解答．