Question

如圖1所示，兩根足夠長(zhǎng)、電阻不計(jì)的平行光滑金屬導(dǎo)軌相距為L(zhǎng)₁=1m，導(dǎo)軌平面與水平面成θ=30°角，上端連接阻值R=1.5Ω的電阻；質(zhì)量為m=0.2kg、阻值r=0.5Ω的金屬棒ab放在兩導(dǎo)軌上，距離導(dǎo)軌最上端為L(zhǎng)₂=4m，棒與導(dǎo)軌垂直并保持良好接觸．整個(gè)裝置處于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，該勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向與導(dǎo)軌平面垂直，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小隨時(shí)間變化的情況如圖2甲所示．一開始為保持ab棒靜止，在棒上施加了一平行于導(dǎo)軌平面的外力F，已知當(dāng)t=2s時(shí)，F(xiàn)恰好為零．求：
（1）當(dāng)t=2s時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大�。�
（2）當(dāng)t=3s時(shí)，外力F的大小和方向；
（3）當(dāng)t=4s時(shí)，突然撤去外力F，當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，導(dǎo)體棒ab兩端的電壓為多大；
（4）請(qǐng)?jiān)趫D2乙中畫出前4s外力F隨時(shí)間的變化情況．

Answer 1

分析：（1）由圖甲看出，B隨時(shí)間均勻變化，回路中產(chǎn)生恒定的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流．根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律推導(dǎo)出安培力的表達(dá)式，在t=2s時(shí)，外力F為零，導(dǎo)體棒處于靜止?fàn)顟B(tài)，由平衡條件即可求解B；
（2）由圖得到B的大�。�由F=BIL求得安培力的大小，由平衡條件求解外力的大小和方向；
（3）撤去外力F，當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件求出回路中的感應(yīng)電流大小，即可由歐姆定律求出導(dǎo)體棒ab兩端的電壓；
（4）根據(jù)外力F隨時(shí)間的表達(dá)式，畫出圖象．

解答：解：（1）回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=

△φ

△t

=L₁L₂

△B

△t

=L₁L₂

B2

2

，
感應(yīng)電流為  I=

E

R+r

=L₁L₂

B2

2(R+r)

，
在t=2s時(shí)刻，外力F=0，由平衡條件得
  mg sin30°=B₂IL₁=L₁²L₂

B2

2(R+r)

，
可解得B₂=1T，
（2）當(dāng)t=3s時(shí)，由圖可知B₃=1.5 T，則由平衡條件得
外力F=B₃IL₁-mg sin30°=B₃L₁²L₂

B2

2(R+r)

-mg sin30°=0.5N，方向沿斜面向下
（3）當(dāng)t=4s時(shí)，突然撤去外力F，當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，則有
  mg sin30°=BIL₁，
解得，I=

mgsin30°

BL1

=0.67 A，導(dǎo)體棒ab兩端電壓為 U=IR=1V
（4）在前3s內(nèi)，由平衡條件得：
  mg sin30°=BIL₁+F，得F=mg sin30°-BIL₁
而B=0.5t（T），I=L₁L₂

B2

2(R+r)

=1×4×

1

2(1.5+0.5)

A=1A，
得到F=1-0.5t
在t=3s后，B不變，則F不變．
作出圖象如圖．
答：
（1）當(dāng)t=2s時(shí)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是1T；
（2）當(dāng)t=3s時(shí)，外力F的大小是0.5N，方向沿斜面向下．
（3）當(dāng)t=4s時(shí)，突然撤去外力F，當(dāng)金屬棒下滑速度達(dá)到穩(wěn)定時(shí)，導(dǎo)體棒ab兩端的電壓為1V．
（4）畫出前4s外力F隨時(shí)間的變化情況如圖．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵有兩點(diǎn)：一是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律和歐姆定律，求解感應(yīng)電流．二是推導(dǎo)安培力，再由平衡條件求解外力．