Question

11．如圖，豎直平面內有兩個半圓AO₁B和CO₂D中間有較短的光滑平臺，小圓的內壁光滑，圓心為O₁，半徑為R₁=0.8m，大圓的內壁粗糙，半徑為小圓的兩倍．小車靜止放置光滑水平地面上，上表面與大圓D點等高且緊挨著D點，小車的質量M=3kg，上表面長L=7m，水平地面右端F處有一豎直擋板．P₁和P₂可視為質點，靜止放在平臺上，中間由輕質彈簧壓縮且鎖定，P1的質量m₁=1kg．同時釋放P₁P₂，P₁剛好能過大圓C點不掉下并且沿著大圓的內壁運動從D點滑上小車，已知P₁到達D點的速度為8m/s．P₁與小車之間的動摩擦因素為0.4．（g=10m/s²）

（1）P₁在大圓內壁滑動過程中產(chǎn)生的熱量
（2）P₂沿小圓運動到A點速度V_A=$\sqrt{17}m/s$，則P₂的質量和彈簧存儲的彈性勢能分別為多少？
（3）地面的右側有一擋板，小車與擋板碰撞就立即停止，試討論擋板距離車右端的距離與P₁克服摩擦力做功之間的關系．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第二定律求出物體到達B、D點的速度，然后由動能定理求出克服摩擦力做功，求出產(chǎn)生的熱量．
（2）兩物體碰撞過程系統(tǒng)動量守恒，應用動能定理、動量守恒定律與能量守恒定律求出質量與彈性勢能．
（3）應用動量守恒定律與動能定理分析答題．

解答 解：（1）P₁恰好過C點，大圓半徑為R₂=1.6m，由牛頓第二定律：${m_1}g={m_1}\frac{V_c^2}{R_2}$，解得：Vc=4m/s，
P₁從C點運動到D點，克服摩擦力做功為W_f，由動能定理得：${m_1}g2{R_2}-{W_f}=\frac{1}{2}{m_1}V_D^2-\frac{1}{2}{m_1}V_C^2$，解得：Q=W_f=8J；
（2）P₂從B點運動到A點由動能定理得：$-{m_2}g2{R_1}=\frac{1}{2}{m_2}V_A^2-\frac{1}{2}{m_2}V_B^2$，代入數(shù)據(jù)得：V_B=7m/s，
P₁、P分開過程系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：m₁v_C=m₂v_B，解得：m₂=0.57kg，
彈簧的彈性勢能：E=$\frac{1}{2}{m_1}V_C^2+\frac{1}{2}{m_2}V_B^2=22J$；
（3）設P₁滑倒和車共速未從車上掉下，共同速度為V，則：
P和車組成的系統(tǒng)動量守恒，以向右為正方向，由動量守恒定律得：m₁v_D=（m₁+M）v，
由能量守恒定律得：$μ{m_1}g{S_{相對}}=\frac{1}{2}{m_1}V_C^2-\frac{1}{2}（{m_1}+M）{V^2}$，
解得：S_相對=6m＜L，所以P1與車共速時并未從車上滑下，
小車從靜止運動到與P₁共速，車位移為S₀，$μm_1^{\;}g{S_0}=\frac{1}{2}M{V^2}$得：S₀=1.5m
車停下后P1繼續(xù)勻減速運動到停止：$μm_1^{\;}g{S_1}=\frac{1}{2}{m_1}{V^2}$，解得：S₁=0.5m，
討論：①擋板距離車右端距離S≤S₀，P₁和車未共速前車就停下，P₁在車上一直做勻減速運動到停止，${W_克}=\frac{1}{2}{m_1}V_D^2=32J$
②擋板距離車右端距離S＞S₀，P₁與車共速后，車才停止，P₁繼續(xù)減速，則P₁相對地面的位移S_總=L+S-S’=S+6.5m 所以W_克=μm₁g（S+6.5）J=4（S+6.5）J；
答：（1）P₁在大圓內壁滑動過程中產(chǎn)生的熱量為8J；
（2）P₂沿小圓運動到A點速度V_A=$\sqrt{17}m/s$，則P₂的質量為0.57kg，彈簧存儲的彈性勢能為22J；
（3）地面的右側有一擋板，小車與擋板碰撞就立即停止，擋板距離車右端的距離與P₁克服摩擦力做功之間的關系是：①擋板距離車右端距離S≤S₀時克服摩擦力做功為32J；②擋板距離車右端距離S＞S₀時：W_克=μm₁g（S+6.5）J=4（S+6.5）J．

點評 本題是一道力學綜合題，物體運動過程復雜，難度很大，分析清楚物體運動過程是正確解題的前提與關鍵，應用動能定理、動量守恒定律、能量守恒定律可以解題．