Question

20．兩塊平行金屬板MN、PQ水平放置，兩板間距為d、板長為l，在緊靠平行板右側(cè)的正三角形區(qū)域內(nèi)存在著垂直紙面的勻強(qiáng)磁場，三角形底邊BC與PQ在同一水平線上，頂點(diǎn)A與MN在同一水平線上，如圖所示．一個質(zhì)量為m、電量為+q的粒子沿兩板中心線以初速度v₀水平射入，若在兩板間加某一恒定電壓，粒子離開電場后垂直AB邊從D點(diǎn)進(jìn)入磁場，BD=AB/4，并垂直AC邊射出（不計粒子的重力）．求：

（1）兩極板間電壓；
（2）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度；
（3）若兩板間不加電壓，三角形區(qū)域內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外．要使粒子進(jìn)入磁場區(qū)域后能從AB邊射出，試求所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)幾何關(guān)系，可求速度間的關(guān)系，從而即可求解；
（2）由幾何關(guān)系，結(jié)合運(yùn)動的半徑公式，從而可確定磁場的大小，由運(yùn)動軌跡，結(jié)合左手定則可確定磁場的方向；
（3）由粒子剛好與BC邊相切時，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，并根據(jù)牛頓第二定律與幾何關(guān)系，從而即可求解．

解答 解：（1）垂直AB邊進(jìn)入磁場，由幾何知識得：粒子離開電場時偏轉(zhuǎn)角為30°，因為：${v_y}=\frac{qu}{md}.\frac{l}{v_0}$
$tgθ=\frac{v_y}{v_0}$
得：$u=\frac{{\sqrt{3}mdv_0^2}}{3ql}$
（2）由幾何關(guān)系得：${l_{AB}}=\frac37t79ht{{cos{{30}^0}}}$
在磁場中運(yùn)動半徑${r_1}=\frac{3}{4}{l_{AB}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}d$
所以有：${B_1}q{v_{\;}}=\frac{{mv_{\;}^2}}{r_1}$$v=\frac{v_0}{cos30°}$
得：${B_1}=\frac{{4m{v_0}}}{3qd}$
方向垂直紙面向里
（3）當(dāng)粒子剛好與BC邊相切時，磁感應(yīng)強(qiáng)度最小，由幾何知識知粒子的運(yùn)動半徑r₂為：${r_2}=\fracnnbxhbv{4}$
${B_2}q{v_0}=\frac{mv_0^2}{r_2}$
得：${B_2}=\frac{{4m{v_0}}}{qd}$
即：磁感應(yīng)強(qiáng)度的最小值為$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$
答：（1）兩極板間電壓$u=\frac{{\sqrt{3}mdv_0^2}}{3ql}$；
（2）三角形區(qū)域內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度${B_1}=\frac{{4m{v_0}}}{3qd}$；
（3）若兩板間不加電壓，三角形區(qū)域內(nèi)的磁場方向垂直紙面向外．要使粒子進(jìn)入磁場區(qū)域后能從AB邊射出，則所加磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小值為$\frac{{4m{v_0}}}{qd}$．

點(diǎn)評 考查粒子在磁場中運(yùn)動，結(jié)合牛頓第二定律與幾何關(guān)系來綜合應(yīng)用，掌握運(yùn)動軌跡的半徑與周期公式．