Question

1．如圖所示，質(zhì)量相同的三顆衛(wèi)星a、b、c繞地球道時(shí)針做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其中b、c在地球的同步軌道上，a距離地球表面的高度為R，此時(shí)a、b恰好相距最近．已知地球質(zhì)量為M、半徑為R、地球自轉(zhuǎn)的角速度為ω，萬(wàn)有引力常量為G，則（　�。�

• A． 發(fā)射衛(wèi)星b時(shí)速度要大于11.2km/s
• B． 衛(wèi)星a的機(jī)械能大于衛(wèi)星b的機(jī)械能
• C． 若要衛(wèi)星c與b實(shí)現(xiàn)對(duì)接，可讓衛(wèi)星C加速
• D． 衛(wèi)星a和b下次相距最近還需經(jīng)過(guò)t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}-ω}}$

Answer 1

分析 第一宇宙速度7.9km/s是指在地球上發(fā)射的物體繞地球飛行作圓周運(yùn)動(dòng)所需的最小初始速度，第二宇宙速度11.2km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度；衛(wèi)星從低軌道到高軌道需要克服引力做較多的功；b、c在地球的同步軌道上，所以衛(wèi)星b、c和地球具有相同的周期和角速度．

解答 解：A、衛(wèi)星b繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，7.9km/s是指在地球上發(fā)射的物體繞地球飛行作圓周運(yùn)動(dòng)所需的最小初始速度，11.2km/s是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度．所以發(fā)射衛(wèi)星b時(shí)速度大于7.9km/s，而小于11.2km/s，故A錯(cuò)誤；
B、衛(wèi)星從低軌道到高軌道需要克服引力做較多的功，衛(wèi)星a、b質(zhì)量相同，所以衛(wèi)星b的機(jī)械能大于衛(wèi)星a的機(jī)械能．故B錯(cuò)誤；
C、讓衛(wèi)星c加速，所需的向心力增大，由于萬(wàn)有引力小于所需的向心力，衛(wèi)星c會(huì)做離心運(yùn)動(dòng)，離開(kāi)原軌道，所以不能與b實(shí)現(xiàn)對(duì)接，故C錯(cuò)誤；
D、衛(wèi)星b、c在地球的同步軌道上，所以衛(wèi)星b、c和地球具有相同的周期和角速度．
由萬(wàn)有引力提供向心力，即$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mω²r，得：$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$
a距離地球表面的高度為R，所以衛(wèi)星a的角速度ω_a=$\sqrt{\frac{GM}{{8R}^{3}}}$
此時(shí)a、b恰好相距最近，到衛(wèi)星a和b下一次相距最近：
（ω_a-ω）t=2π
解得：t=$\frac{2π}{\sqrt{\frac{GM}{8{R}^{3}}-ω}}$，故D正確；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 理解三種宇宙速度，特別注意第一宇宙速度的三種說(shuō)法．能抓住萬(wàn)有引力提供向心力列出等式解決問(wèn)題的思路，再進(jìn)行討論求解．