Question

8．如圖所示，圓心為M（0，b）的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，在虛線x=b的右側(cè)與虛線y=2b的下側(cè)所圍區(qū)域有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，其他的地方為無場(chǎng)區(qū)，兩條虛線均與圓相切，P、N為切點(diǎn)．在y=4b處放置與y軸垂直的光屏．一質(zhì)量為m、電荷量為e的電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿y軸正方向射入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，經(jīng)過t=$\frac{2m（π+1）}{eB}$時(shí)間后最終打在光屏上，電子重力不計(jì)．
（1）求電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的速度v₀；
（2）求勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大��；
（3）若大量的電子均以（1）問中速率v₀，在xoy平面內(nèi)沿不同方向同時(shí)從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入，射入方向分布在與y軸正方向成60°范圍內(nèi)，不考慮電子間的相互作用，則電子先后到達(dá)光屏的最大時(shí)間差△t；
（4）若只有兩束電子夾角為90°，均以（1）問中的速率v₀在xoy平面內(nèi)沿不同方向同時(shí)從坐標(biāo)原點(diǎn)O射入（兩束電子的射入方向均不與x軸重合），求光屏上兩光點(diǎn)間的最小距離S_min．

Answer 1

分析 （1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)做圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求出從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的速度v₀；
（2）根據(jù)時(shí)間關(guān)系，粒子在磁場(chǎng)中、電場(chǎng)中及無場(chǎng)區(qū)運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間等于$\frac{2m（π+1）}{eB}$，求出電場(chǎng)強(qiáng)度E
（3）沿y正方向進(jìn)入的粒子，最先到光屏，沿60°進(jìn)入粒子最后達(dá)到光屏，求出其時(shí)間差．
（4）畫出軌跡圖，根據(jù)幾何關(guān)系求出光屏上兩點(diǎn)間距離的表達(dá)式，再運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求最小值

解答 解：（1）由電子能從N點(diǎn)離開磁場(chǎng)可知，電子在磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑
R=b ①
$e{v}_{0}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
由①②得：${v}_{0}^{\;}=\frac{eBb}{m}$
（2）如圖所示，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{1}^{\;}=\frac{T}{2}$ ③
$T=\frac{2πm}{eB}$④
由③④得：${t}_{1}^{\;}=\frac{πm}{qB}$
電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}^{\;}=\frac{2{v}_{0}^{\;}}{a}$⑤
加速度$a=\frac{eE}{m}$ ⑥
出磁場(chǎng)后時(shí)間${t}_{3}^{\;}=\frac{2b}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{2m}{Be}$
${t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}+{t}_{3}^{\;}=t=\frac{2m（π+1）}{eB}$⑦
聯(lián)立以上各式得：$E=\frac{2e{B}_{\;}^{2}b}{πm}$
（3）如圖可以得，所有電子沿平行于電場(chǎng)方向離開磁場(chǎng)進(jìn)入電場(chǎng)，電子運(yùn)動(dòng)速率不變，電子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變．電子再回到磁場(chǎng)繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)軌跡所對(duì)圓心角之和保持不變，即電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間不變．并可得電子離開磁場(chǎng)射向光屏?xí)r的速度方向與從O點(diǎn)射入時(shí)速度方向相同．即電子沿+y方向射入到打到
屏用時(shí)間最短，沿與+y方向成60°射入到打到光屏上用時(shí)間最長(zhǎng)．

電子經(jīng)第一個(gè)無場(chǎng)區(qū)域用時(shí)$△{t}_{1}=\frac{{v}_{0}}$⑧
電子經(jīng)過第二個(gè)無場(chǎng)區(qū)域多用時(shí)$△{t}_{2}^{\;}=\frac{2b}{{v}_{0}^{\;}}$⑨
聯(lián)立得：$△t=\frac{3b}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{3m}{eB}$
（4）當(dāng)電子束離開磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)互成90⁰，打到光屏上的間距S=2b（tanα+tanβ）⑩
α+β=90°⑪
$S=2b（tanα+\frac{1}{tanα}）≥4b$⑫
聯(lián)立得：${S}_{min}^{\;}=4b$

答：（1）電子從坐標(biāo)原點(diǎn)O沿y軸正方向射入磁場(chǎng)的速度${v}_{0}^{\;}$為$\frac{eBb}{m}$；
（2）勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小$\frac{2e{B}_{\;}^{2}b}{πm}$；
（3）電子先后到達(dá)光屏的最大時(shí)間差△t為$\frac{3m}{eB}$；
（4）光屏上兩光點(diǎn)間的最小距離${S}_{min}^{\;}$為4b．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵先確定圓心、半徑，然后根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解；第三問關(guān)鍵先根據(jù)題意，分析后畫出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，然后再列式計(jì)算．一定要注意重視數(shù)學(xué)方法在物理中的應(yīng)用．