Question

13．如圖所示，半徑為R，內(nèi)徑很小的光滑半圓管豎直放置，兩個(gè)質(zhì)量均為m的小球A、B以不同速率進(jìn)入管內(nèi)，A通過最高點(diǎn)C時(shí)，對管壁上部的壓力為3mg，B通過最高點(diǎn)C時(shí)，對管壁下部的壓力為0.5mg．求
（1）A、B兩球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度；
（2）A，B兩球從最高點(diǎn)落到地面的時(shí)間；
（3）A，B兩球落地點(diǎn)間的距離．

Answer 1

分析 （1）對兩個(gè)球分別受力分析，通過最高點(diǎn)時(shí)，由合力提供向心力，由牛頓第二定律求出兩球通過C點(diǎn)的速度．
（2）兩球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求解時(shí)間．
（3）平拋運(yùn)動(dòng)水平方向分運(yùn)動(dòng)是勻速直線運(yùn)動(dòng)，求出兩球平拋運(yùn)動(dòng)的水平距離，兩者之差即為兩球落地點(diǎn)間的距離．

解答 解：（1）兩個(gè)小球在最高點(diǎn)C時(shí)，受重力和管壁的作用力，這兩個(gè)力的合力作為向心力，根據(jù)牛頓第二定律得：
A球通過最高點(diǎn)時(shí)有：3mg+mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
解得：v_A=2$\sqrt{gR}$
對B球通過最高點(diǎn)時(shí)有：mg-0.5mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得：v_B=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
（2）兩球離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動(dòng)，則有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
解得 t═$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
（3）A、B兩球平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移分別為：
  s_A=v_At=2$\sqrt{gR}$•2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=4R 
  s_B=v_Bt=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$•2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=$\sqrt{2}$R
則兩球落地點(diǎn)間的距離：△s=s_A-s_B=（4-$\sqrt{2}$）R
答：（1）A、B兩球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的速度分別為2$\sqrt{gR}$和$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
（2）A，B兩球從最高點(diǎn)落到地面的時(shí)間是$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；
（3）A，B兩球落地點(diǎn)間的距離．A、B兩球落地點(diǎn)間的距離為（4-$\sqrt{2}$）R．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是對小球在最高點(diǎn)處時(shí)受力分析，知道合外力充當(dāng)向心力．對于平拋運(yùn)動(dòng)，要掌握運(yùn)動(dòng)的分解法和分位移公式．