Question

19．如圖a所示，勻強(qiáng)磁場垂直于xOy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁按圖b所示規(guī)律變化（垂直于紙面向外為正）．t=0時(shí)，一比荷為$\frac{q}{m}$=1×10⁵C/kg的帶正電粒子從原點(diǎn)沿y軸正方向射入，速度大小v=3×10⁴m/s，不計(jì)粒子重力．
（1）求帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑．
（2）求t=$\frac{π}{2}$×10^-4s時(shí)帶電粒子的坐標(biāo)．
（3）保持b中磁場不變，再加一垂直于xOy平面向外的恒定勻強(qiáng)磁場B₂，其磁感應(yīng)強(qiáng)度為0.3T，在t=0時(shí)，粒子仍以原來的速度從原點(diǎn)射入，求粒子回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)洛倫茲力提供向心力列方程即可求出帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑；
（2）先求出帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期，再分別求出在0～$\frac{π}{4}$×10^-4s和$\frac{π}{4}$×10^-4s～$\frac{π}{2}$×10^-4s過程中，粒子運(yùn)動(dòng)了的周期和圓弧對應(yīng)的圓心角，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，利用幾何關(guān)系求出帶電粒子的坐標(biāo)；
（3）畫出施加B₂=0.3T的勻強(qiáng)磁場與原磁場疊加后規(guī)律變化圖，分別求出當(dāng)nT≤t≤nT+$\frac{T}{2}$和nT+$\frac{T}{2}$≤t≤（n+1）T（n=0，1，2，…）時(shí)粒子運(yùn)動(dòng)了的周期，畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡圖即可求出粒子回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻．

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，洛侖茲力提供向心力，
則有qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
代入數(shù)據(jù)解得：r=$\frac{mv}{q{B}_{1}}$=$\frac{3×1{0}^{4}}{1×1{0}^{5}×0.5}$m=0.6m．
（2）帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的周期：
T₀=$\frac{2πm}{{B}_{1}q}$=$\frac{2π}{5}$×10^-4s，
在0～$\frac{π}{4}$×10^-4s過程中，粒子運(yùn)動(dòng)了$\frac{5{T}_{0}}{8}$，
圓弧對應(yīng)的圓心角：θ₁=$\frac{5π}{4}$，
在$\frac{π}{4}$×10^-4s～$\frac{π}{2}$×10^-4s過程中，粒子又運(yùn)動(dòng)了$\frac{5{T}_{0}}{8}$，
圓弧對應(yīng)的圓心角：θ₂=$\frac{5π}{4}$，

軌跡如圖a所示，根據(jù)幾何關(guān)系可知，
橫坐標(biāo)：x=2r+2rsin$\frac{π}{4}$=$\frac{3}{5}$（2+$\sqrt{2}$）m，
縱坐標(biāo)：y=-2rcos$\frac{π}{4}$=-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$m，
故帶電粒子的坐標(biāo)為[$\frac{3}{5}$（2+$\sqrt{2}$）m，-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$m]．
（3）施加B₂=0.3T的勻強(qiáng)磁場與原磁場疊加后，如圖b所示，

①當(dāng)nT≤t≤nT+$\frac{T}{2}$（n=0，1，2，…）時(shí)，
T₁=$\frac{2πm}{q（{B}_{1}+{B}_{2}）}$=$\frac{π}{4}$×10^-4s，
②當(dāng)nT+$\frac{T}{2}$≤t≤（n+1）T（n=0，1，2，…）時(shí)，
T₂=$\frac{2πm}{q（{B}_{1}-{B}_{2}）}$=π×10^-4s，
粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖c所示，

則粒子回到原點(diǎn)的時(shí)刻為：
t₁=（$\frac{π}{4}$+2nπ）×10^-4s，
t₂=2（n+1）π×10^-4s （n=0，1，2，…）．       
答：（1）求帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為0.6m；
（2）t=$\frac{π}{2}$×10^-4s時(shí)帶電粒子的坐標(biāo)為[$\frac{3}{5}$（2+$\sqrt{2}$）m，-$\frac{3\sqrt{2}}{5}$m]；
（3）粒子回到坐標(biāo)原點(diǎn)的時(shí)刻為t₁=（$\frac{π}{4}$+2nπ）×10^-4s，t₂=2（n+1）π×10^-4s （n=0，1，2，…）．

點(diǎn)評 此題是帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運(yùn)動(dòng)問題，解題時(shí)要認(rèn)真分析粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡，畫出粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖并結(jié)合幾何知識進(jìn)行求解，同時(shí)要注意粒子運(yùn)動(dòng)的周期性，過程比較復(fù)雜，意在考查學(xué)生綜合分析問題的能力．