Question

15．如圖所示，一個(gè)豎直放置的圓錐筒，筒內(nèi)壁光滑，筒底連接一高H的光滑細(xì)直管，細(xì)直管出口處固定一個(gè)夾角θ=60°、長(zhǎng)L的V型水平槽．筒內(nèi)壁高也為H處有一質(zhì)量為m的小球，恰好能在水平面沿筒內(nèi)壁做半徑為R的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)小球在各接管口處轉(zhuǎn)變速度方向時(shí)沒(méi)有機(jī)械能損失，重力加速度取g．
（1）求小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；
（2）若小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度突然變?yōu)棣?$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$，求小球落入V型槽時(shí)的速度v；
（3）當(dāng)小球從槽接管口的一端以速度v₀=2$\sqrt{gH}$沿V型槽滑動(dòng)時(shí)，為了使小球不會(huì)滑出槽口，則槽面對(duì)小球的動(dòng)摩擦因數(shù)μ至少為多大？

Answer 1

分析 （1）小球在圓筒內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求出小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度大小；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒求出小球落入V型槽時(shí)的速度v；
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出槽面對(duì)小球的動(dòng)摩擦因數(shù)大小．

解答 解：（1）小球在筒做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，它受到重力和支持力作用，它們的合力提供向心力，如圖1：
則$\frac{mg}{tanα}$=mω²R，
由幾何關(guān)系可知：tanα=$\frac{R}{H}$，
聯(lián)立以上兩式解得：ω=$\frac{\sqrt{gH}}{R}$．
（2）如果小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度改為ω=$\frac{\sqrt{gH}}{2R}$，小球?qū)⒀赝矁?nèi)壁向下做螺旋線運(yùn)動(dòng)，再進(jìn)入細(xì)直管，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒，有：
mg•2H=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（Rω）^{2}$，
解得：v=$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$．
（3）對(duì)小球在V型槽運(yùn)動(dòng)進(jìn)行受力分析，如圖2：
由于三個(gè)力中每?jī)蓚�(gè)力間的夾角為120°，所以每個(gè)槽面對(duì)小球的支持力N₁=N₂=mg，
所以小球?qū)�V型槽間的滑動(dòng)摩擦力為f=2μN(yùn)₁=2μmg，
小球沿槽滑動(dòng)至停止，由動(dòng)能定理，有：
-fL=0-$\frac{1}{2}$mv₀²，
解得：μ=$\frac{H}{L}$．
答：（1）小球轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為$\frac{\sqrt{gH}}{R}$．
（2）小球落入V型槽時(shí)的速度為$\frac{\sqrt{17gH}}{2}$．
（3）槽面對(duì)小球的動(dòng)摩擦因數(shù)μ至少為$\frac{H}{L}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道小球做圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來(lái)源，掌握動(dòng)能定理解題的一般步驟，并能靈活運(yùn)用，對(duì)于第三問(wèn)，也可以根據(jù)動(dòng)力學(xué)知識(shí)進(jìn)行求解．