Question

14．在傾角為θ的固定光滑絕緣斜面上，由一勁度系數(shù)為k的長(zhǎng)絕緣輕質(zhì)彈簧，其下端固定于斜面底端，上端與一質(zhì)量為m，帶正電的小球A相連，整個(gè)空間存在一平行于斜面向上的勻強(qiáng)電場(chǎng)，小球A靜止時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)．另一質(zhì)量也為m的不帶電的絕緣小球B從斜面上的P點(diǎn)由靜止開(kāi)始下滑，與A發(fā)生碰撞后一起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，碰撞時(shí)間極短，且不粘連．在以后的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，A與B在所能到達(dá)的最高點(diǎn)恰未分開(kāi)．全過(guò)程中小球A的電量不發(fā)生變化，彈簧形變始終在彈性限度內(nèi)，重力加速度為g．求：
（1）A、B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量；
（2）A、B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度；
（3）若B與A碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為△E，求兩小球運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)與點(diǎn)P的距離．

Answer 1

分析 （1）由共點(diǎn)力的平衡條件求出電場(chǎng)力的大��；然后由物體分離的條件，結(jié)合對(duì)B的受力分析和B的加速度，求出A物體受到的合外力的大小，最后結(jié)合對(duì)A的受力分析即可求出最高點(diǎn)的位置與彈簧的形變量；
（2）A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力為零時(shí)，具有最大速度v_m，該過(guò)程中重力做正功而電場(chǎng)力做負(fù)功，由功能關(guān)系即可求出最大速度；
（3）B球下降的過(guò)程中機(jī)械能守恒，即可求出B與A碰撞前的速度；由于碰撞的時(shí)間短，碰撞可以近似看做是動(dòng)量守恒，則可以求出碰撞后的速度；碰撞后兩球沒(méi)有分離，則一起做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可知，兩球平衡位置在速度最大處，最高點(diǎn)與最低點(diǎn)到平衡位置的距離相等，因此即可求出兩小球運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)與點(diǎn)P的距離．

解答 解：（1）開(kāi)始時(shí) 小球A靜止時(shí)彈簧恰為原長(zhǎng)，則電場(chǎng)力的大小與重力沿斜面向下的分力相等，得：
qE=mgsinθ
由題意，A與B在所能到達(dá)的最高點(diǎn)恰未分開(kāi)，說(shuō)明二者的速度恰好都為0時(shí)，二者之間的相互作用力為0，加速度的大小也相等．
由于B只受到重力和支持力的作用，所以合外力：F_B=mgsinθ
B的加速度：${a}_{B}=\frac{mgsinθ}{m}=gsinθ$
A受到重力、支持力、彈簧的彈力以及電場(chǎng)力的作用，沿斜面向下的方向：kx₁+mgsinθ-qE=ma
聯(lián)立以上公式，解得：${x}_{1}=\frac{mgsinθ}{k}$
（2）A、B一起運(yùn)動(dòng)過(guò)程中合外力為零時(shí)，具有最大速度v_m，設(shè)此時(shí)彈簧的壓縮量為x₂，則：2mgsinθ-qE-kx₂=0 得x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$
由于x₂=x₁，說(shuō)明A速度最大的位置與兩個(gè) 小球在最高點(diǎn)的彈性勢(shì)能相等，對(duì)此過(guò)程由功能關(guān)系：（2mgsinθ-qE）（x₁+x₂）=$\frac{1}{2}•$2mv_m²
得v_m=gsinθ$\sqrt{\frac{2m}{k}}$
（3）設(shè)A、B初始距離為l₀，在與A碰撞前B的速度為v₀，由機(jī)械能守恒定律得：
mgl₀sinθ=$\frac{1}{2}$mv₀²
得v₀=$\sqrt{2g{l}_{0}sinθ}$  
B與A碰撞后共同速度為v₁，選取沿斜面向下為正方向，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=2mv₁；
則：${v}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{0}=\sqrt{\frac{g{l}_{0}sinθ}{2}}$
B與A碰撞過(guò)程中損失的機(jī)械能為△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}•$2mv₁²=$\frac{1}{2}$mgl₀sinθ
由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)可知，兩球平衡位置在速度最大處，即運(yùn)動(dòng)最高點(diǎn)和平衡位置的距離：A=x₁+x₂=$\frac{2mgsinθ}{k}$
則最低點(diǎn)到P的距離為d=l₀+x₁+A=$\frac{2△E}{mgsinθ}+\frac{3mgsinθ}{k}$
答：（1）A、B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)彈簧的形變量是$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）A、B運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的最大速度是$gsinθ\sqrt{\frac{2m}{k}}$；
（3）若B與A碰撞過(guò)程中系統(tǒng)損失的機(jī)械能為△E，兩小球運(yùn)動(dòng)最低點(diǎn)與點(diǎn)P的距離是$\frac{2△E}{mgsinθ}+\frac{3mgsinθ}{k}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道滑塊的運(yùn)動(dòng)是向下先做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，然后做加速度增大的減速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，速度為0．知道在最低點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大．在整個(gè)過(guò)程中，有動(dòng)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、電勢(shì)能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，當(dāng)電勢(shì)能減小最多時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能最大．