Question

9．如圖所示，在xOy平面內(nèi)有兩個(gè)有界磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大B₁=B，B₂=$\frac{B}{2}$，它們的邊界線與y軸負(fù)方向成某一角度θ，質(zhì)量為m帶電量為+q的粒子，以速度v從y軸上的A點(diǎn)沿x軸正方向入射，已知$\overline{OA}$=$\frac{mv}{2qB}$，粒子第二次經(jīng)過x軸時(shí)速度方向與x軸垂直．不計(jì)粒子重力．求：
（1）第二次經(jīng)過x軸時(shí)的坐標(biāo)；
（2）tanθ的值以及從A點(diǎn)出發(fā)到第二次經(jīng)過x軸所經(jīng)歷的時(shí)間；
（3）在第二象限的某區(qū)域內(nèi)（包含出射點(diǎn)）加一勻強(qiáng)電場，使粒子以與出發(fā)時(shí)相同的速度又回到A點(diǎn)．求所加電場的最小值和方向．

Answer 1

分析 根據(jù)洛倫茲力提供向心力求出在兩磁場中的半徑，畫出滿足題意的運(yùn)動(dòng)軌跡，半徑${R}_{2}^{\;}$是${R}_{1}^{\;}$的兩倍，根據(jù)幾何關(guān)系求出夾角和邊，可以很順利的求出交點(diǎn)坐標(biāo)，求時(shí)間找出兩段圓弧對(duì)的圓心角，利用$t=\frac{θ}{360}T$求解，最后一問動(dòng)能定理分析出電場力沒有做功，出射點(diǎn)和A點(diǎn)在一等勢(shì)面上，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解順利求解

解答 解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得$R=\frac{mv}{qB}$，在${B}_{1}^{\;}$磁場中半徑${R}_{1}^{\;}=\frac{mv}{qB}$，${B}_{2}^{\;}$磁場中半徑${R}_{2}^{\;}=\frac{2mv}{qB}$，畫出帶電粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，如圖
在磁感應(yīng)強(qiáng)度為${B}_{1}^{\;}$的勻強(qiáng)磁場中，圓心在B，半徑${R}_{1}^{\;}$，在磁感應(yīng)強(qiáng)度為${B}_{2}^{\;}$的勻強(qiáng)磁場中，圓心為C，半徑${R}_{2}^{\;}$
根據(jù)題意知$\overline{OA}=\frac{mv}{2qB}$，由$\overline{OB}=\frac{mv}{2qB}$，$\overline{OC}=\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{mv}{qB}$
第二次經(jīng)過x軸時(shí)的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離${R}_{2}^{\;}+\overline{OC}=\frac{2mv}{qB}+\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{mv}{qB}=\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}）$
所以第二次經(jīng)過x軸的坐標(biāo)$（-\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}），0）$
（2）由幾何關(guān)系知∠OBC=60°，所以$tanθ=\frac{{R}_{1}^{\;}sin60°}{\overline{OB}+{R}_{1}^{\;}cos60°}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
由幾何關(guān)系知，在${B}_{1}^{\;}$磁場中的圓心角120°，在${B}_{2}^{\;}$磁場中的圓心角150°
${t}_{1}^{\;}=\frac{120°}{360°}{T}_{1}^{\;}=\frac{1}{3}\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{3qB}$，${t}_{2}^{\;}=\frac{150°}{360°}{T}_{2}^{\;}=\frac{5}{12}\frac{2πm}{q\frac{B}{2}}=\frac{5πm}{3qB}$
所以第二次經(jīng)過x軸所經(jīng)歷的時(shí)間$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=\frac{7πm}{3qB}$
（3）根據(jù)動(dòng)能定理知從出射點(diǎn)到返回A點(diǎn)動(dòng)能不變，電場力沒有做功，知出射點(diǎn)和A點(diǎn)連線為一等勢(shì)面，電場強(qiáng)度方向垂直連線斜向下
水平方向：${v}_{\;}^{2}=2\frac{q{E}_{x}^{\;}}{m}\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}）$解得${E}_{x}^{\;}=（4+\sqrt{3}）vB$
豎直方向：${v}_{\;}^{2}=2\frac{q{E}_{y}^{\;}}{m}\frac{mv}{2qB}$解得${E}_{y}^{\;}=vB$
電場強(qiáng)度的最小值$E=\sqrt{{E}_{x}^{2}+{E}_{y}^{2}}=\sqrt{（4+\sqrt{3}）_{\;}^{2}+1}vB$，方向垂直出射點(diǎn)和A連線斜向下
答：（1）第二次經(jīng)過x軸時(shí)的坐標(biāo)$（-\frac{mv}{2qB}（4+\sqrt{3}），0）$；
（2）$tanθ=\frac{\sqrt{3}}{2}$從A點(diǎn)出發(fā)到第二次經(jīng)過x軸所經(jīng)歷的時(shí)間$\frac{7πm}{3qB}$；
（3）在第二象限的某區(qū)域內(nèi)（包含出射點(diǎn)）加一勻強(qiáng)電場，使粒子以與出發(fā)時(shí)相同的速度又回到A點(diǎn)．求所加電場的最小值$\sqrt{（4+\sqrt{3}）_{\;}^{2}+1}vB$和方向垂直出射點(diǎn)和A點(diǎn)連線斜向下．

點(diǎn)評(píng) 本題前兩小問比較基礎(chǔ)，第三小問難度較大，需要分析清楚，不能錯(cuò)誤的當(dāng)成類平拋運(yùn)動(dòng)去做，掌握基本解題思想很關(guān)鍵．